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Universidade Federal do Paraná
Setor de Ciências Exatas
Departamento de Física

Física Geral B – Prof. Dr. Ricardo Luiz Viana

Aula 9: Gerador Eletrostático de Van de Graaff

Potencial de uma casca esférica carregada

Vimos (Lei de Gauss) que uma casca esférica carregada gera um campo elétrico nulo em pontos em seu interior. No seu exterior, o campo é o mesmo que seria obtido se toda acarga Q da casca estivesse concentrada em seu centro. Sendo R o raio da esfera temos

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Em particular, o campo elétrico na superfície da casca valerá

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Por extensão, o potencial elétrico gerado pela casca para pontos no seu exterior é o mesmo que o de uma carga puntiforme Q no centro. Então
[pic] se r ≥ R
Na superfície da casca r = R, e temos

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Supondoque a casca esférica é um condutor isolado em equilíbrio eletrostático, vimos na Aula 7 que todos os seus pontos têm o mesmo potencial. Logo, mesmo no interior da casca esférica, o potencial, além de ser constante, continua valendo kQ/R, que é o seu valor na superfície da casca. Esse resultado vale tanto para uma casca esférica como para uma esfera maciça condutora de raio R.

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Problemaresolvido: Determine uma relação entre os raios, cargas e densidades superficiais de carga de duas esferas ligadas por um fio fino e muito comprido, ambas ao mesmo potencial elétrico.

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Solução: Sejam duas esferas de raios R1 e R2, contendo cargas q1 e q2, respectivamente. As esferas são ligadas por um fio muito longo, e todo o sistema é levado a um potencial V
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levando a [pic]. SeR2 > R1, como na figura, então q2 > q1, ou seja, a esfera maior tem também a maior carga.
Como as esferas são condutoras e isoladas, as suas cargas em excesso devem estar sobre suas superfícies. As densidades superficiais de carga das duas esferas são
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Dividindo membro a membro teremos
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Se R2 > R1, então σ1 > σ2, ou seja, a esfera maior, apesar de ter carga maior, tem menordensidade superficial de carga.

Problema proposto: Quais são a carga e a densidade superficial de carga de uma esfera condutora de raio 15 cm, cujo potencial é de 200 V? Respostas: (a) 3,34 nC; (b) 11,8 nC/m2

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Conclusão: em geral, quanto menor o raio de curvatura, maior a densidade superficial de carga. Superfícies “suaves” têm grandes raios de curvatura, enquanto pontas agudas têm umpequeno raio de curvatura. Logo, as pontas agudas apresentam altas densidades superficiais de carga, e como E = σ/ε0, o campo elétrico também é maior na proximidade de pontas agudas (“poder das pontas”).
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Problema resolvido: Seja uma pequena esfera condutora de raio r dentro de uma grande casca esférica de raio R. As duas esferas possuem cargas q e Q, respectivamente. Calcule a diferença depotencial entre elas.
Solução: O potencial da esfera maior é devido em parte à sua própria carga (kQ/R) e, em parte, devido ao fato dela estar no campo elétrico produzido pela carga q da esfera menor (kq/R é o potencial da esfera menor na superfície da esfera maior). Sabemos que o potencial resultante é a superposição destes dois potenciais. Logo, o potencial da esfera maior é
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[pic]Analogamente, o potencial da esfera menor tem uma contribuição devida à sua própria carga (kq/r) e outra devida ao fato de ela estar dentro da esfera maior (o potencial da esfera grande na posição da esfera pequena é kQ/R, que é o mesmo valor da sua superfície, como vimos). Logo
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A diferença de potencial entre as duas esferas vale

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Suponha a carga q positiva. Como r < R (dafigura) então (1/r) > (1/R), ou seja, ΔV > 0: a ddp é positiva. Assim Vr – VR > 0, ou Vr > VR: a esfera interna terá sempre um potencial superior ao da esfera externa. Se ligarmos as duas esferas por um fio fino, toda a carga q da esfera interna migrará para a esfera externa, qualquer que seja o valor da carga Q que ela já possua (a corrente elétrica convencionalmente sempre vai do ponto de maior...
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