TPC1

ESCOLHA SOB CONDIÇÃO DE INCERTEZA:

UTILIDADE ESPERADA E AVERSÃO AO RISCO

Probabilidade e Valor Esperado

O estudo do comportamento individual sob incerteza e o estudo matemático da probabilidade e estatística têm uma origem histórica comum na tentativa de compreender (e presumivelmente ganhar) jogos de azar. Dois conceitos estatísticos que tiveram origem em tais jogos, e que irão ser bastante úteis nesta secção são a probabilidade e valor esperado (i.e., esperança matemática).

A probabilidade dum evento repetitivo acontecer é, a frequência relativa com a qual irá ocorrer. Por exemplo, dizer que a probabilidade de obter cara no lançamento justo de uma moeda é ½ significa que a cara iria aparecer aproximadamente em metade das tentativas. De modo similar, a probabilidade de obter um 2 no lançamento único de um dado (com seis lados) é um-sobre-seis.

Supõe que uma lotaria oferece n prémios (alguns dos quais poderão ser 0 ou mesmo negativos), X1, X2, ..., Xn, e que a probabilidade de ganhar estes prémios seja π1, π2, ... , πn. Se assumirmos que um e apenas um prémio será atribuído a um jogador, então

(1)

Esta equação diz simplesmente que a nossa lista inclui todas as possibilidades de resultados da lotaria e que uma daquelas deve ocorrer. Para dar uma medida da média de pagamento nesta lotaria, definimos o valor esperado como se segue:

DEFINIÇÃO
Valor Esperado (ou, Esperança Matemática) Para uma lotaria (X) com prémios X1, X1, …, Xn e probabilidades de ganhar π1, π2, πn, o valor esperado da lotaria é
Valor Esperado=E(X)= π_1 X_1+ π_2 X_2+〖…+ π〗_n X_n

(2)

O valor esperado da lotaria é uma soma ponderada dos prémios, onde os pesos são as respectivas probabilidades. Por exemplo, supõe que o João e o Santos concordam em lançar uma moeda. Se aparecer cara, João irá pagar à Santos $1; se for coroa, Santos pagará ao João $1. Do ponto de vista de Santos, há dois prémios neste jogo: para uma cara, X1 = +$1; para uma coroa, X2 = -$1,