Torres de hanoi

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INTRODUÇÃO
A Torre de Hanoi é um jogo inventado pelo matemático francês Édouard Lucas em 1883. Constitui-se de uma torre com oito discos, inicialmente empilhados por tamanhos decrescentes em três pinos dados. O objetivo é transferir a torre inteira para um dos outros pinos, movendo apenas um disco de cada vez e nunca colocando um disco maior em cima de um menor.
Esse jogo foi associado a váriaslendas. Todas as lendas pesquisadas diziam respeito a um templo, que as pesquisas revelam ser de varias civilizações sendo a mais encontrada a Hindu, onde havia sido criado uma torre com 64 discos de ouro e mais duas estacas equilibradas sobre uma plataforma. O deus local ordenara-lhes que movessem todos os discos de uma estaca para outra segundo as suas instruções. As regras eram simples:apenas um disco poderia ser movido por vez e nunca um disco maior deveria ficar por cima de um disco menor. Segundo a lenda, quando todos os discos fossem transferidos de uma estaca para a outra, o templo desmoronar-se-ia e o mundo desapareceria. As variantes sugeriam ser o templo um templo Hindu, noutras aparece o centro de um universo sub-aquatico. Mas no que todas convergem o templo desabaria e omundo veria seu fim..

PEÇAS A APLICAÇÕES

A torre de hanoi pode ser encontrada em diversas lojas de brinquedos. No geral é feita de discos de madeira mas podendo variar em suas formas e tamanhos bem como no material sendo encontrada também em plástico. Aconselhada a crianças, ela estimula o raciocínio logico e cognitivo.
O objetivo principal da torre é o de executar o mínimo de movimentospossível na transposição das peças. Com base nisso pode-se estimular alunos de ensino fundamental, médio e superior em diferentes categorias de raciocínio. Alunos do ensino médio podem começar a associar cálculos matemáticos e a descobrir formulas para calcular o numero mínimo e ideal de movimentos a serem executados para que a torre se complete. Entretanto, alunos do ensino superior podem utilizar-sedesse brinquedo clássico para desenvolver raciocínios de programação logica e recursiva para solucionar facilmente o problema. Adaptações para esta brinquedo tem surgido na internet e diversos jogos on-line pode ser acessados para realização de experiências.
Enquanto isso, algumas questões podem ser postas para ajudar o raciocínio:
- O número de movimentos é alterado quando a torre étransportada para o outro pino?
- Acrescentando uma peça à torre, em quanto aumentaria o número de movimentos?
- Existe alguma relação matemática entre o número mínimo de jogadas necessárias para transportar uma torre, e o número necessário para transportar a torre acrescida de uma peça?
- Existe alguma relação entre estes números e o que ocorre no jogo?
- Você utiliza alguma idéia matemática paraescolher suas jogadas?
- Em caso afirmativo, qual, ou quais? Como você mobiliza essas idéias?


(imagem da tela principal de uma Torre de Hanoi On-line)

CONCEITUANDO O PROBLEMA
Para resolver um problema (não só este, mas vários outros problemas na matemática) que envolve n coisas, ajuda ver o que acontece para valores pequenos de n.

No caso acima temos n=1 sendo n o número de discos noqual teremos que mover ao ultimo pino. Vendo por esta perspectiva temos apenas um movimento a ser realizado.
Ao se aumentar o número de discos é possível perceber certa complexidade se formando.

Vemos que com n=2 o numero de movimentos saltou para três.
Ao aumentarmos o numero de discos para n=3 vemos que com sete movimentos resolvemos o problema.

Como todos os processos de resoluçãomatemáticos podemos começar a tirar conclusões de nossas observações para que não seja necessário realizar testes para cada um dos n discos a serem colocados no problema. Com base em formulações matemáticas poderíamos prever cada um dos resultados.
Pode-se notar o seguinte baseado em observações dos resultados apresentados:

Os quatro movimentos executados acima pertencem aos necessários para se...
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