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AS ORIGENS DO PENSAMENTO MATEMÁTICO E A CRISE DOS FUNDAMENTOS Joaquim Francisco de Carvalho *
* Programa de Pós-Graduação em Energia da USP

“...nós percebemos objetos e entendemos conceitos. Entendimento é outra forma de percepção...” Kurt Gödel

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Samos, próxima à costa jônica (c. 570 a.C.) e morto em Crotona, no sul da Itália (c. 500 a.C.). Nada ficou do que o próprio Pitágorasefetivamente escreveu, mas a confraria pitagórica deixou um curioso legado de ensinamentos que iam de dogmas religiosos a especulações matemáticas. Em particular, atribui-se a Pitágoras a descoberta de uma escala tonal que podia ser expressa em termos puramente numéricos, usando os primeiros quatro números inteiros. E tambem o célebre teorema que, originalmente, teria sido formulado e provado por ele,embora saiba-se que muitos séculos antes, agrimensores babilônios, caldeus e egípcios já o conhecessem. Em fins do século VI a.C. a civilização grega passou a ser ameaçada pelos persas e a corrente filosófica foi-se deslocando para o ocidente, até encontrar novo centro em Eléia, colônia fundada por refugiados jônicos na Itália, ao sul de Nápoles. Aí vamos encontrar, por exemplo, Parmênides (c.514-450 a.C.) e seu discípulo Zenão (c. 490-430 a.C.), que foi um dos primeiros filósofos a argumentar a partir de hipóteses e premissas formuladas por outros pensadores. Zenão ficou muito conhecido pelo paradoxo do movimento, baseado na bissecção (Aquiles e a tartaruga), e pelos chamados paradoxos da pluralidade, que parecem antecipar certos dilemas da teoria dos conjuntos, como se vê pelas citaçõesa seguir, que chegaram até nós através de Aristóteles (c. 384-322 a.C.), o fundador da lógica formal e um dos mais importantes filósofos da antiguidade:


Se as coisas são muitas, devem ser tantas quantas são, nem mais nem menos. E se elas são Se as coisas são muitas, as coisas existentes são infinitas, pois há sempre coisas entre as

tantas quantas são, podem ser finitas (em quantidade).

coisas existentes e, novamente, outras coisas entre estas outras. Sendo assim, as coisas existentes são infinitas (em quantidade).

Para abreviar esta digressão, vamos acompanhar, desde a origem, um pensamento elaborado neste século por K. Gödel (1906-1978), mas que pode ser encontrado já na antigüidade, em Euclides, depois em Platão e, há cerca de dois séculos, em Kant. Sabe-se pouco da vidade Euclides. Ele nasceu por volta de 295 a.C. e estudou provavelmente em Atenas. Mas passou a maior parte da vida em Alexandria, onde fundou a escola de matemática. Deve-se a Euclides a sistematização clara e rigorosa de toda a obra matemática de seus predecesores (geometria, teoria dos números irracionais, teoria das proporções). Os Elementos de Euclides são, provavelmente, o livro científicomais reproduzido e mais estudado da história.

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Até meados do século passado, todas as pessoas cultas acreditavam que, começando por verdades evidentes (axiomas e postulados) e utilizando métodos de demonstração rigorosos, Euclides tinha chegado ao que é definitivamente certo a respeito do espaço – ou sobre objetos no espaço. Com Euclides, os fundamentos da geometria ainda eram intuitivos(ponto e reta), mas passaram a ser entendidos como objetos geométricos especificados em afirmações não demonstradas, ou seja, axiomas e postulados. Platão (Atenas, c. 428-348 a.C.), o filósofo mais influente da escola ateniense, acreditava que existe uma verdade eterna, que pode ser descoberta pelo pensamento humano, como narra no diálogo Mênon, no qual um escravo, sem nenhum aprendizado prévio,respondendo a perguntas de Sócrates, consegue descobrir (ou "reencontrar") uma lei geométrica (um quadrado construido sobre a diagonal de um quadrado, tem o dobro da área de outro, construido sobre um dos lados). Se o escravo nunca tinha aprendido isto, argumenta Sócrates no diálogo de Platão, seu conhecimento só pode ter vindo de um reino de verdade absoluta, de onde é retirado todo o saber...
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