Titulo

Convolução e Transformadas de Fourier

Transformada de Fourier
F ( w) = ∫ f ( x)e
−∞ +∞ −i 2πwx

dx

f ( x) = ∫ F ( w)e
−∞

+∞

+ i 2πwx

dw

Propriedades da transformada

convolução

Função rectângulo
1 f(x)
⎧0 se x < − b 2 ⎛ x⎞ ⎪ rect ⎜ ⎟ = ⎨1 se x ∈ [− b 2, b 2] ⎝b⎠ ⎪ ⎩ 0 se x > b 2

b
+∞

x

b/2 ⎛ x ⎞ −i 2πwx dx= 1∫ e −i 2πwx dx F ( w) = ∫ rect ⎜ ⎟e −∞ −b / 2 ⎝b⎠

1 = e −iπwb − eiπwb −b / 2 − i 2πw 1 1 e iπwb − e − iπwb = sin(πwb) = πw πw 2i ⎡ sin(πwb) ⎛ x ⎞⎤ F ⎢rect ⎜ ⎟⎥ = b πwb ⎝ b ⎠⎦ ⎣ b/2 1 − i 2πwx e = − i 2πw

]

(

)

(

)

Transformada da rectângulo a f(x)

sin(πwb) F ( w) = ab πwb x sinc(πbw)

b

Transformada do Delta de Dirac f(x) δ(x)

F ( w) = ∫ δ ( x)e −i 2πwx dx = e 0 = 1
−∞

+∞

x f(x) δ(x-a) 1 || F(w) ||

a

x

w

Cosseno
1.5

cos(at ) δ ( w + a)

|| F(w) || δ ( w − a)

1

0.5

0

x
-0.5 -1

−a

a

w

-1.5

1 F ( w) = [δ ( w + a ) + δ ( w − a )] 2

Convolução

h( x) = f ⊗ g = ∫ f (u ) g ( x − u )du
−∞
t=∞

∞

h(x) =

t = −∞

∫ g (t −

x ) f ( x ) dt

A convolução no instante t pode ser vista como sendo a área da intersecção entre f (x) e g(t-x). (o resultado da convolução entre dois rectângulos é um triângulo)

A convolução pode ser utilizada para “posicionar” uma outra função, utilizando as funções Delta de Dirac. t=∞ h(x) =

t = −∞

∫

f ( t − x ) δ ( x − a ) dt = f ( x − a )

Por exemplo para “colocarmos” duas funções rectângulo, em posições –a/2 e +a/2, podemos fazer a convolução entre duas funções delta, nessas posições, e a função rectângulo. g(x)
−a 2 a 2

⊗ x b

f(x) x b a b

=

a

x