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Monitor Adan Marcel

Teste de Hipóteses e Intervalos de Confiança


Teste de Hipótese e Intervalo de Confiança para a média

1) Deseja-se estudar se uma moléstia que ataca o rim altera o consumo de
oxigênio desse órgão. Para indivíduos sadios, admite-se que esse consumo
tem Distribuição Normal com média 12 cm3/min. Os valores medidos em cinco
pacientes com a moléstia foram:
PacienteConsumo

1
14,4

2
12,9

3
15,0

4
13,7

5
13,5

Qual seria a conclusão, ao nível de 1% de significância (α = 0,01)?
RESPOSTA:
Construindo um Teste de Hipótese para média (variância desconhecida)
O teste de interesse é:
H0: A moléstia não altera a média de consumo renal de oxigênio;
H1: Indivíduos portadores da moléstia tem média alterada.
Em termos de média populacional,estamos testando as hipóteses:
H0:

= 12

H1:

12

A região crítica é da forma:
RC = {t
Sendo

|t<

}

desconhecido, usaremos o estimador S2 =

. Sendo H0

verdadeira, temos:
T=

~ t(4)

Logo,
P[t < t1] = 0,01/2
P[t < t2] = 0,005




t1 = - 4,604
t2 = 4,604

Sendo o valor 4,60 obtido da tabela da distribuição T-Student, com 4 graus de
liberdade. Assim, a regiãocrítica será dada por:

RC = {t
Sendo

Portanto, como

e

|t<

}

; calculamos o valor padronizado.

RC, decidimos pela rejeição da hipótese nula, ou seja,

a moléstia tem influência no consumo renal médio de oxigênio, ao nível de
confiança de 99%.
Construindo um Intervalo de Confiança para a média (variância desconhecida)
Quando a variância é desconhecida, construímosintervalos de confiança para
média utilizando o modelo T- Student. Supondo uma amostra aleatória X1, ... ,
Xn obtida de uma população com distribuição Normal com média e variância
desconhecidas, temos:
~ t(n - 1)
Desta forma, fixando-se o coeficiente de confiança γ (0 <

< 1) e utilizando a

tabela da distribuição T- Student com n-1 graus de liberdade, podemos obter o
tal que:
valor
P[ -]=

Logo o intervalo de confiança γ para µ, com variância desconhecida será dado
por:
IC ( , %) = [

]

Para os dados deste exemplo temos:
IC (µ, 99%) = [

] = [12,22 ; 15,58]

O intervalo de confiança encontrado não inclui o valor 12 para , que foi a
hipótese nula da primeira parte deste exercício. Desta forma, confirma-se que a
moléstia tem influência no consumo renal médio deoxigênio, ao nível de
confiança de 99%.

2) Admitindo que a pressão sanguínea arterial em homens siga o modelo
Normal, 7 pacientes foram sorteados e tiveram sua pressão medida com os
seguintes resultados:
Paciente 1
Pressão 84
a)

2
81

3
77

4
85

5
69

6
80

7
79

Teste se a média é 82 contra a alternativa de ser 78. Use α = 0,02.

RESPOSTA:
H0:

= 82

H1:

82RC = {t

| t < - 3,143}

Portanto não temos evidências suficientes para rejeitarmos a hipótese de
que a pressão sanguínea arterial média dos homens é igual a 82, ao nível de
confiança de 98%.
b) Determine o intervalo de confiança para

com nível de confiança

= 0,98.

RESPOSTA
IC ( , 99%) = [

] = [72,97 ; 85,60]

Pode-se afirmar que o intervalo [72,97; 85,60] contém averdadeira média da
pressão sanguínea arterial dos homens, com 98% de confiança.


Teste de Hipótese e Intervalo de Confiança para diferença entre
médias
3) Alunos de uma Universidade realizaram um estudo para verificar o efeito de
uma atividade esportiva na frequência cardíaca (em batimentos por minuto) em
dois grupos. O primeiro grupo é formado por 15 homens com idade entre 28 e
36 anos oumais. O segundo é um grupo um pouco mais jovem, formado por
15 homens, com idades entre 18 e 27 anos. Vamos assumir que a variabilidade
das frequências cardíacas é a mesma nos grupos e igual a σ = 10.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
Grupo1 102 125 123 135 114 152 115 133 126 138 93 139 104 112 126
Grupo2 92 76 76 90 97 90 86 93 100 115 85 80 90 86 94
a)
Teste se a média da...
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