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Lei dos senos
Em trigonometria, a lei dos senos é uma relação matemática de proporção sobre a medida de triângulos arbitrários em um plano. Em um triângulo ABC qualquer, inscrito em umacircunferência de raio r, de lados BC, AC e AB que medem respectivamente a, b e c e com ângulos internos , e vale a seguinte relação:

Demonstração

Para demonstrar a lei dos senos, tomamos um triânguloABC qualquer inscrito em uma circunferência de raio r. A partir do ponto B pode-se encontrar um ponto diametralmente oposto D, e, ligando D a C, formamos um novo triângulo BCD retângulo em C. Dafigura, pelo teorema do ângulo inscrito podemos chegar a conclusão que , porque determinam na circunferência uma mesma corda . Desta forma, podemos relacionar:



Fazendo todo este mesmo processopara os ângulos e teremos as relações:
e
em que b é a medida do lado AC, oposto a , c é a medida do lado AB, oposto a , e 2r é uma constante.
Logo, podemos concluir que:

Outro modo dedemonstrar é usando geometria analítica com vetores: Definimos um triângulo formado pela soma e o resultante e os ângulos , e correspondendo respectivamente aos vetores e , e , e . Sabendo queo dobro da área, representada por , do triângulo formado entre os vetores e é calculada com o módulo do produto vetorial entre eles e que:

sendo o ângulo entre os vetores e , dessa formatemos o seguinte desenvolvimento:




Que pode ser representado como a lei dos senos que conhecemos:

Pois é uma relação possível de se inverter.
Trigonometria esférica


Lei dos senospara um triângulo esférico
Em um triângulo esférico existe uma lei muito parecida:

A lei dos senos na trigonometria plana é o caso limite desta lei; o triângulo plano é o limite de um triânguloesférico quando os lados tendem a zero, e, no limite, .

Lei dos cossenos
Em um triângulo ABC qualquer, de lados opostos aos ângulos internos e com medidas respectivamente e valem as...
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