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A Equação de Bernoulli da Hidráulica
Miguel Moreira Agosto de 2007

Conteúdo
1 Introdução 2 A Equação de Bernoulli 3 Dedução da Equação de Bernoulli 4 Formas da Equação de Bernoulli 5 Aplicações da Equação de Bernoulli 5.1 Descarga de reservatórios pressurizados 5.2 Escoamentos através de restrições . . . 5.3 Jactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Medição de velocidades e caudais . .. 5.4.1 O Tubo Venturi . . . . . . . . . 5.4.2 O Tubo Pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 4 6 7 8 9 10 12 12 14 15 16

6 Outras aplicações da Equação de Bernoulli 7 Conclusões

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Introdução

A escolha dotema “A Equação de Bernoulli”para objecto desta lição devese, em primeiro lugar, ao facto de ser um tema da mecânica de ‡ uidos com múltiplas, interessantes e importantes aplicações na Engenharia. Como se sabe, a Equação de Bernoulli é utilizada para, entre outras aplicações em hidráulica, quanti…car velocidades de escoamentos estacionários de descarga de reservatórios, estimar a velocidade de umaescoamento através duma restrição à sua passagem e medir velocidades de escoamentos e os correspondentes caudais. A aplicação da Equação de Bernoulli está portanto presente quer nas operações de previsão feitas pelo Engenheiro, quer nas correspondentes operações de veri…cação e experimentação em geral. Aspectos estes que constituem as duas faces do mundo em que um Engenheiro se movimenta. Poroutro lado, a “maquinaria matemática”e física, necessária para justi…car o enunciado da Equação de Bernoulli, é adequada ao nível de um aluno do …m do primeiro ano, princípio do segundo ano de um curso de Engenharia, possibilitando a ilustração da aplicação de conceitos de cálculo vectorial e de física de uma forma integrada, obtendo um resultado de utilidade evidente para aluno. Acresce que ao níveldas aplicações a Equação de Bernoulli oferece-nos facilmente, alguns resultados, já conhecidos do aluno e obtidos aplicando outras metodologias. Ora, estes factos constituem elementos extremamente motivadores da aprendizagem.

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A Equação de Bernoulli

Daniel Bernoulli foi um físico e matemático Suíço do século XVIII. Oriundo de uma notável família ligada à Ciência — particularmente àmatemática1 — nasceu em 1700 e investigou, entre muitos outros assuntos, as forças associadas a um ‡ uido em movimento. Desenvolveu a teoria cinética dos gases e foi quem pela primeira vez caracterizou a pressão de um gás através dos choques elásticos, das suas partículas, numa superfície. Viria a estabelecer, em 1738, uma das equações mais utilizadas na mecânica de ‡ uidos conhecida por Equação deBernoulli. A Equação de Bernoulli traduz o princípio de conservação de energia numa mesma linha de corrente num escoamento suposto estacionário, com massa volúmica constante, invíscido, sujeito adicionalmente a forças volúmicas de origem gravítica.
tais como, Jacob Bernoulli notabilizado pelos seus estudos sobre sucessões e séries e Johan Bernoulli que investigou questões ligadas à teoria daintegração.
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Lembremos que uma linha de corrente é caracterizada pela tangência do vector velocidade do escoamento em cada um dos seus pontos. Um escoamento é dito estacionário quando os parâmetros que o caracterizam, tais como a massa volúmica , a velocidade V, a pressão p e outros, não dependem do tempo. A massa volúmica diz-se constante se não depender quer dotempo, quer da posição. Um escoamento diz-se invíscido quando a viscosidade do ‡ uido é nula. Nesta última situação o ‡ uido diz-se perfeito. O estabelecimento da Equação de Bernoulli tem por base a Equação de Euler DV = 5p+ g (1) Dt a qual representa a Lei Fundamental da Dinâmica, ou Segunda Lei de Newton X ma = Fi (2) aplicada a um ‡ uido perfeito (invíscido) sujeito a forças de origem...
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