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TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Transformação Linear
Sejam V e W espaços vetoriais reais. Dizemos que uma função T :V →W é uma transformação linear se a função T preserva as operações de adição e de multiplicação por escalar, isto é, se os seguintes axiomas são satisfeitos:
TL1. Para quaisquer v,u∈V , T(v + u) = T(v) + T(u) .
TL2. Para todo v∈V e para todo k ∈R , ) T(k ⋅ v) = k ⋅T(v .
Exemplos:
1) 2
T : R → R
2 2
T : R → R
2 2
T : R → R ) (x, y) aT(x, y) = (−x,− y
Verificando os axiomas:
TL1. ( T((x, y) + (z,t)) = T(x, y) + T(z,t , para quaisquer 2(x, y),(z,t)∈R ?
T((x, y) + (z,t)) = T(x + z, y + t) = (−(x + z),−( y + t)) = (−x − z,−y − t)
T(x, y) + T(z,t) = (−x,− y) + (−z,−t) = (−x − z,− y − t)
Assim, a transformação linear T preserva a operação de adição de vetores.
TL2. T(k ⋅(x, y)) = k ⋅T(x, y) , para todo
2
(x, y)∈R e para todo k ∈R ?
T(k ⋅(x, y)) = T(kx, ky) = (−(kx),−(ky)) = (k(−x), k(− y)) = k ⋅(−x,− y) = k ⋅T(x, y)
Assim, a transformação linear T preserva a operação de multiplicação por escalar.
Considere ) v = (1,2) e u = (−1,3 .
T(v) = T(1,2) = (−1,−2)
T(u) = T(−1,3) = (1,−3)
T(v) + T(u) = (−1,−2) + (1,−3) = (0,−5)
T(v + u) = T((1,2) + (−1,3)) = T(0,5) = (0,−5)
T(2 ⋅ v) = T(2 ⋅(1,2)) = T(2,4) = (−2,−4) = 2 ⋅(−1,−2) = 2 ⋅T(1,2) = 2 ⋅T(v)
2)
3 3
T : R → R (x, y,z) aT(x, y,z) = (x, y,0)
T é uma transformação linear (Verifique !)
Esta transformação linear associa a cada vetor do R
3
sua projeção ortogonal sobre o plano