Teoria dos mercado

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SISTEMAS DIGITAIS

ÁLGEBRA DE BOOLE

Setembro de 04

H. Neto, N. Horta

ÁLGEBRA DE BOOLE - 2

SUMÁRIO
PORTAS LÓGICAS LÓGICA BINÁRIA ÁLGEBRA DE BOOLE
DEFINIÇÃO PROPRIEDADES TEOREMAS

Setembro de 04

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H. Neto, N. Horta

ÁLGEBRA DE BOOLE - 3 LÓGICA BINÁRIA
A lógica binária lida com variáveis que podem ter 2 valores distintos. É habitual pensar em termos devalores binários e designar estes valores por 0 e 1.

Operações Lógicas Básicas
AND X 0 0 1 1 Y 0 1 0 1 X .Y 0 0 0 1 X 0 0 1 1 OR Y 0 1 0 1 X+Y 0 1 1 1 NOT X 0 1 X 1 0

Setembro de 04

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H. Neto, N. Horta

ÁLGEBRA DE BOOLE - 4 PORTAS LÓGICAS
As portas lógicas são circuitos electrónicos que operam sobre um ou mais sinais de entrada para produzirem um sinal de saída. Nastecnologias mais comuns, o circuito lógico distingue 2 intervalos distintos de tensão, que são interpretados como 1 ou 0.

Exemplo

1 0

5V 3,5V 1,5V 0 Volts

Simbologia (IEC 617)
≥1

&

1

OR

AND

NOT

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ÁLGEBRA DE BOOLE - 5 ÁLGEBRA DE BOOLE BINÁRIA
Uma Álgebra de Boole binária é um sistema algébrico B2 = (A={0,1},. ,+) formado por um conjunto gerador A e por duas operações binárias, . , +, designadas por produto lógico e soma lógica, e por uma operação designada por complemento, tal que:
(I)

∀ x , y∈A ( x ⋅ y ∈ A) ∧ ( x + y ∈ A)
verifica-se

(Propriedade de Fecho)

(II) ∀ x, y , z∈A

A1 (Propriedade Comutativa) A2 (Propriedade Associativa) A3 (Propriedade Distributiva) A4 (Elemento neutro) A5(Complemento)

x⋅ y = y⋅x
x + ( y + z ) = (x + y ) + z

x+ y = y+x x + ( y ⋅ z ) = (x + y ) ⋅ (x + z ) x+0= x
x . ( y . z ) = ( x . y ). z

x ⋅ ( y + z ) = (x ⋅ y ) + (x ⋅ z ) x ⋅1 = x

x⋅x = 0

x + x =1

[Hist.] Boole, George (1815-1864), Matemático britânico. Em 1854, publicou “An Investigation of the Laws of Thought” onde descreveu um sistema algébrico mais tarde designado porálgebra de Boole
Setembro de 04 SISTEMAS DIGITAIS H. Neto, N. Horta

ÁLGEBRA DE BOOLE - 6 PROPRIEDADES BÁSICAS DA ÁLGEBRA DE BOOLE

x+0= x x +1 = 1 x+x = x x + x =1 x=x
x+ y = y+ x x + ( y + z ) = (x + y ) + z x ⋅(y + z) = x ⋅ y + x ⋅ z x+ y = x⋅y x⋅ y + x⋅ y = x
Setembro de 04

x ⋅1 = x x⋅0 = 0 x⋅x = x x⋅x = 0
x⋅ y = y⋅x x ⋅ ( y ⋅ z ) = (x ⋅ y )⋅ z x⋅ y = x + y (x + y )⋅ (x + y ) = xSISTEMAS DIGITAIS

Comutatividade Associatividade

x + y ⋅ z = ( x + y ) ⋅ ( x + z ) Distributividade
DeMorgan Adjacência
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ÁLGEBRA DE BOOLE - 7 PRINCÍPIO DA DUALIDADE
Qualquer expressão válida numa álgebra de Boole tem uma expressão dual, também válida nessa álgebra, que se obtém por troca do símbolo operatório + com o símbolo operatório . e do limite universal 0 com o limiteuniversal 1.

Exemplo:
x . 1 = x é a expressão dual de x + 0 = x Outros teoremas da Álgebra de Boole: Absorção Consenso

(x + y )⋅ (x + z ) = x ⋅ z + x ⋅ y
x⋅ y + x⋅ y⋅ z = x⋅ y + x⋅z

x ⋅ (x + y ) = x x⋅ y + y⋅z + x ⋅z = x⋅ y + x ⋅ z

x + x⋅ y = x (x + y )⋅ ( y + z )⋅ (x + z ) = (x + y )⋅ (x + z ) x ⋅ y + x ⋅ z = (x + z )⋅ (x + y )

(x + y )⋅ (x + y + z ) = (x + y )⋅ (x + z )Setembro de 04

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ÁLGEBRA DE BOOLE - 8 FUNÇÃO BOOLEANA

f = ab+c
āb e c são os termos da função. ā, b e c são os literais.

Tabela da Verdade a b c 0 0 0 0 0 1 0 1 0 āb 0 0 1 1 0 0 0 0 f 0 1 1 1 0 1 0 1

Circuito Lógico
A B C F

0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

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ÁLGEBRA DE BOOLE - 9SIMPLIFICAÇÃO ALGÉBRICA Exemplo
a d x a e x b d x b e x c d x c e x y

f = adx + ae x + bdx + be x + cdx + ce x + y = (ad + ae + bd + be + cd + ce ) x + y = ((a + b + c ) d + (a + b + c ) e ) x + y = ((a + b + c ) (d + e )) x + y
a b c d e x y

Realização a 2 níveis (soma de produtos)
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Realização Multinível

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ÁLGEBRA DE BOOLE - 10...
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