Teoria dos limites

A Teoria dos Limites, tópico introdutório e fundamental da Matemática Superior, será vista aqui, de uma forma simplificada, sem aprofundamentos, até porque, o nosso objetivo nesta página, é abordar os tópicos ao nível do segundo grau, voltado essencialmente para os exames vestibulares.
Portanto, o que veremos a seguir, será uma introdução à Teoria dos Limites, dando ênfase principalmente ao cálculo de limites de funções, com base nas propriedades pertinentes.
O estudo teórico e avançado, vocês verão na Universidade, no devido tempo.
Outro aspecto importante a ser comentado, é que este capítulo de LIMITES abordará o estritamente necessário para o estudo do próximo tópico: DERIVADAS.
O matemático francês - Augustin Louis CAUCHY - 1789/1857 , foi, entre outros, um grande estudioso da TEORIA DOS LIMITES. Antes dele, Isaac NEWTON - inglês - 1642 /1727 e Gottfried Wilhelm LEIBNIZ - alemão - 1646 /1716 , já haviam desenvolvido o Cálculo Infinitesimal.
DEFINIÇÃO
Dada a função y = f(x), definida no intervalo real (a, b), dizemos que esta função f possui um limite finito L quando x tende para um valor x0, se para cada número positivo  , por menor que seja, existe em correspondência um número positivo  , tal que para
| x - x0 |  , se tenha |f(x) - L |   , para todo x  x0 .
Indicamos que L é o limite de uma função f( x ) quando x tende a x0 , através da simbologia abaixo: lim f(x) = L x x0
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Exercício:
Prove, usando a definição de limite vista acima, que: lim (x + 5) = 8 x 3
Temos no caso: f(x) = x + 5 x0 = 3
L = 8.
Com efeito, deveremos provar que dado um  > 0 arbitrário, deveremos encontrar um  > 0, tal que, para |x - 3| <  , se tenha |(x + 5) - 8| <  . Ora, |(x + 5) - 8| <  é equivalente a | x - 3 | < 
Portanto, a desigualdade |x - 3| <  , é verificada, e neste caso  =  .
Concluímos então que 8 é o limite da função para x tendendo