Teoria dos Grupos

1.História
Leonhard Euler considerou operações algébricas em números módulo um inteiro, área conhecida como aritmética modular, em sua generalização do pequeno teorema de Fermat. Estas pesquisas foram levadas muito além por Gauss, que considerou a estrutura de grupo multiplicativo dos resíduos mod n e estabeleceu muitas propriedades dos grupos cíclicos e mais geralmente dos grupos abelianos que apareceram desta maneira. Em seus estudos das formas quadráticas binárias, Gauss estabeleceu explicitamente a lei associativa para a composição de formas, mas como Euler fez antes dele, ele parecia estar mais interessado em resultados concretos do que na teoria geral. Em 1870, Leopold Kronecker deu a definição de um grupo abeliano no contexto de grupo de classes de ideais de um corpo numérico, uma grande generalização do trabalho de Gauss. Parecia que ele não relacionou isto com os trabalhos anteriores sobre grupos, em particular, sobre permuutações. Em 1882 considerando a mesma questão, Heinrich Weber percebeu a conexão e deu uma definição parecida que envolvia a lei do cancelamento mas omitia a existência do elemento inverso, que foi suficiente neste contexto (grupos finitos).
Permutações foram estudadas por Joseph Lagrange em seu artigo "Pensamentos sobre Soluções de Equações Algébricas" dedicado às soluções de equações algébricas, no qual ele introduziu os resolventes de Lagrange. O objetivo de Lagrange era entender por que uma equação de grau 3 e 4 admitia fórmula para suas soluções, e ele identificou que os objetos chaves eram as permutações das raízes.
Paolo Ruffini foi a primeira pessoa a desenvolver a teoria de grupos de permutações, o como seus antecessores, também no contexto de resolver equações algébricas. Seus objetivo era estabelecer a impossibilidade de uma solução algébrica para uma equação algebrica geral de grau maior que 4. Rumo a este objetivo ele introduziu a noção de ordem de um elemento num grupo, conjugação, a decomposição em ciclos de elementos