Teoria dos conjuntos

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3. TEORIA DOS CONJUNTOS



Ticiano A. Campigotto

3.1 Conceito: Teoria dos conjuntos


A noção de conjunto, fundamental na Matemática de nossos dias, não é suscetível de definição precisa a partir de noções mais simples, ou seja, é uma noção primitiva, introduzida de modo explicito noséculo passado pelo matemático Russo GEORG CANTOR (1845-1918).
Intuitivamente, sob a designação de conjunto entendemos toda coleção bem definida de objetos, não importa de que natureza, considerados globalmente.
Segundo N. BOURBAK: “Um conjunto é formado de elementos suscetíveis de possuírem certas propriedades e de terem entre si, ou com elementos de outros conjuntos certas relações”.
SegundoCANTOR ; “Chama-se conjunto o agrupamento num todo de objetos, bem definidos e discerníveis, de nossa percepção ou de nosso entendimento, chamados os elementos do conjunto”.
Portanto, conjunto é qualquer lista ou coleção bem definida de objetos.

Exemplos

a) O conjunto dos alunos desta sala.
b) O conjunto dos meses do ano.
c) O conjunto das letras da palavra MATEMÁTICA.
d) O conjunto dasvogais do alfabeto.
e) O conjunto dos números ímpares.
f) O conjunto dos dias da semana.
g) O conjunto dos triângulos isósceles.

3.2 Notação dos Conjuntos

Um conjunto designa-se por letras latinas maiúsculas: A, B, C, . . . , X, Y, Z. Os objetos que constituem um conjunto denominam-se elementos do conjunto, e representa-se habitualmente pelas letras minúsculas : a, b, c, . . . , x, y, z. Daíelementos são os componentes (objetos, integrantes) do conjunto.

Exemplo

O conjunto A cujos elementos são: a, b, c, . . . representa-se pela notação: A = { a, b, c, . . . } que se lê “A é o conjunto cujos elementos são: a, b, c, . . . “
Observe que os elementos estão separados por vírgula e incluídos entre chaves.

3.3. Relação de Pertinência

Para indicar que um elemento x pertenceao conjunto A, escreve-se xA, notação derivada ao matemático Italiano Giuseppe Peano (1858-1932) e que se lê “x pertence a A”.
Para indicar que um elemento x não pertence ao conjunto A, escreve-se xA, e que se lê “x não pertence a A”.
Daí, relação de pertinência é a relação que se estabelece entre elemento e conjunto.

3.4. Representação de um conjunto

Um conjunto pode ser representadopor:
Extensão : Nomeando seus elementos entre chaves e separados por virgula
Exemplos
O conjunto das vogais do alfabeto português.
A = { a, e, i, o, u }

O conjunto dos números ímpares positivos
B = { 1, 3, 5, . . . }

O conjunto dos dias da semana
C = { Segunda feira, Terça feira, . . . , Domingo}

O conjunto dos números pares positivos menores que 500
D = { 2, 4, 6, 8, . . ., 498}Compreensão: O conjunto será representado por meio de uma propriedade que caracteriza seus elementos.
Exemplos
A = { x  x é vogal}
B = { x  xN x  5}
C = { x  xR e x2 – 7x + 6 = 0 }.

Diagrama de Venn ( ou circulo de Euler)
Por um recinto plano delimitado por uma linha fechada qualquer não entrelaçada.

Exemplo
O conjunto A = { v, x, y, z } é representado por :




3.5Igualdade de conjuntos

Dois conjuntos A e B dizem-se iguais se e somente se todo elemento que pertence a um deles também pertence ao outro
Simbolicamente: A = B  (x)(xA  xB)

Exemplo
Seja A = { 0, 1, 2, 3, } e B = { x  xN e x  4}.
Assim A = B isto é { 0, 1, 2, 3} = { 0, 1, 2, 3 }

3.5.1 Propriedades da igualdade de conjuntos

A igualdade de conjuntos possui as seguintespropriedades:
(P1) : REFLEXIVA
Demonstração : (x)(xA  xA), isto é, A = A .
(P2): SIMÉTRICA: A = B  B = A
(P3): TRANSITIVA : A = B e B = A  A = C




3.7 Conjuntos finitos e infinitos

Os conjuntos podem ser finitos ou infinitos. Intuitivamente, um conjunto é finito se consiste de um número específico de elementos diferentes; caso contrario, é infinito.

Exemplos
Seja A o conjunto...
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