Teoria dos conjuntos

Disponível somente no TrabalhosFeitos
  • Páginas : 66 (16349 palavras )
  • Download(s) : 0
  • Publicado : 19 de junho de 2012
Ler documento completo
Amostra do texto
Α
Uma reedição revista pelo autor dos capítulos iniciais das Lições de Análise Real
  ¡

Elementos de Lógica Matemática e Teoria dos Conjuntos Jaime Campos Ferreira

Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico Outubro de 2001
¢ £

U

Introdu¸˜o ca

Alguns amigos e colegas, regentes das primeiras disciplinas de An´lise Maa tem´tica no IST, aconselharam uma reedi¸ao dos doisprimeiros cap´ a c˜ ıtulos do texto Li¸oes de An´lise Real (que redigi h´ mais de trinta anos), por c˜ a a entenderem que, nas condi¸oes actuais do nosso ensino, poderiam ser de alc˜ guma utilidade como introdu¸ao aos principais assuntos versados nas suas c˜ aulas. Foi esta a causa da presente publica¸ao. O texto foi agora submetido c˜ a uma revis˜o ligeira; no entanto, para os estudantes queutilizem tamb´m o a e livro Introdu¸ao a An´lise Matem´tica, conv´m mencionar uma pequena dic˜ ` a a e feren¸a: o conjunto dos n´ meros naturais (em ambos os trabalhos designado c u pela letra N) ´ definido nesse livro por forma a incluir o n´ mero zero, ene u quanto no texto que agora se publica o n˜o inclui. Trata-se evidentemente de a uma discrepˆncia em mat´ria de natureza convencional, da qual,depois de a e devidamente acentuada, n˜o resultar´ decerto qualquer inconveniente para a a os eventuais utilizadores dos dois trabalhos. Lisboa, Outubro de 2000, Jaime Campos Ferreira

Uma edi¸ao do Departamento de Matem´tica do Instituto Superior T´cnico. Setembro de 2001. c˜ a e

´ Indice

1 Elementos de l´gica matem´tica o a ´ 1.1 Termos e proposi¸oes. Algebra proposicional. . . . . . .. . . c˜ 1.2 Express˜es com vari´veis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o a 1.3 Quantificadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Elementos de teoria dos conjuntos. 2.1 Conjuntos. Opera¸oes fundamentais. . . . . . . . c˜ 2.2 Pares ordenados. Sequˆncias. Produto cartesiano. e 2.3 Fun¸oes. Aplica¸oes. Invers˜o. Composi¸ao. . . . c˜ c˜ a c˜ 2.4 Rela¸oes de equivalˆncia.Rela¸oes de ordem. . . c˜ e c˜ ´ Indice remissivo . . . . . . Rela¸oes. c˜ . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5 8 10 17 17 21 28 34 48

3

4

Cap´ ıtulo 1

Elementos de l´gica matem´tica o a

Para compreender bem as defini¸oes e teoremas que constituem as teorias c˜ matem´ticas cujo estudo vamos iniciar, ´ indispens´vel habituarmo-nos a a e a usar uma linguagem mais precisa e rigorosa doque a que se utiliza, em geral, na vida corrente. A aquisi¸ao desse h´bito pode ser muito facilitada c˜ a pelo recurso a algumas no¸oes e s´ c˜ ımbolos da L´gica Matem´tica, dos quais o a indicaremos neste primeiro cap´ ıtulo, de forma muito resumida e largamente baseada na intui¸ao, aqueles que tˆm maior interesse para a sequˆncia do c˜ e e nosso curso. Conv´m, no entanto, observar que a L´gicaMatem´tica tem hoje aplicae o a coes concretas extremamente importantes, em diversos dom´ ¸˜ ınios; uma das mais not´veis ´, sem d´ vida, a sua utiliza¸ao no planeamento dos modernos a e u c˜ computadores electr´nicos. o

1.1

´ Termos e proposi¸oes. Algebra proposicional. c˜

A linguagem usada na Matem´tica, como qualquer outra linguagem, coma preende designa¸oes (tamb´m chamadas nomes outermos) e proposi¸oes c˜ e c˜ (ou frases). As designa¸oes servem para indicar determinados objectos mac˜ tem´ticos: n´ meros, pontos, conjuntos, fun¸oes, opera¸oes, figuras geom´tria u c˜ c˜ e cas, etc.; as proposi¸oes exprimem afirma¸oes — que podem ser verdadeiras c˜ c˜ ou falsas — a respeito dos mesmos objectos. Como exemplos de designa¸oes registamos as seguintes 1 : c˜ 7, 3 + 4, 2− √ π
7

,

2+ 3i,

N,

R.

Observe-se que as duas primeiras designa¸oes se referem ao mesmo obc˜ jecto: s˜o designa¸oes equivalentes ou sin´nimas; para indicar que duas a c˜ o designa¸oes, a e b, s˜o equivalentes, escreve-se usualmente a = b. Como c˜ a exemplos de proposi¸oes (as duas primeiras verdadeiras, as outras falsas) c˜
Designamos por N e R, respectivamente, o conjunto dos n´meros naturais...
tracking img