Teoremas

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Teorema de Talles
O Teorema de Tales é determinado pela intersecção entre retas paralelas e transversais, que formam segmentos proporcionais. Foi estabelecido por Tales de Mileto, que defendia a tese de que os raios solares que chegavam à Terra estavam na posição inclinados. Partindo desse principio básico observado na natureza, intitulou uma situação de proporcionalidade que relaciona as retasparalelas e as transversais.

Retas paralelas cortadas por retas transversais formam segmentos proporcionais. Observe:

No esquema acima, as retas a, b e c são paralelas e as retas r e r’ são transversais. De acordo com o Teorema de Tales, temos as seguintes proporcionalidades:

Observe que a relação estabelecida envolve noções de razão e proporção, o segmento AB está para o segmento BC assim comoo segmento A’B’ está para o segmento B’C’. A igualdade entre as duas razões formam uma proporção, o cálculo dessa proporção será resolvido através de uma simples multiplicação cruzada, ou de acordo com a propriedade das proporções: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Observe o seguinte exemplo, nele aplicaremos o Teorema de Tales para encontrar o valor do segmento desconhecido:O Teorema de Tales possui inúmeras aplicações nas diversas situações envolvendo cálculo de distâncias inacessíveis e possui grande aplicabilidade nas questões relacionadas à Astronomia.

Prismas
Teorema 1: O volume de um prisma regular é igual ao produto da área da base pela altura.
Teorema 2: Duas pirâmides de mesma base e mesma altura têm o mesmo volume.
| Seja A a área do triângulo ABC eseja h a altura do prisma. Pelo Teorema 1 citado acima, sabemos que seu volume é Ah.
Agora dividiremos esse prisma em três tetraedros (pirâmide de base triangular). Mostraremos que os três tetraedros terão a mesma área da base e a mesma altura, logo pelo Teorema 2, terão o mesmo volume.É claro que a soma dos volumes desses três tetraedros é igual ao volume do prisma. |
Seja V1 o volume do tetraedrodefinido pelo triângulo ABC e pelo vértice  D, V2 o volume do tetraedro definido pelo triângulo FDE e pelo vértice A e V3 o volume do tetraedro definido pelo triângulo ACE e pelo vértice D.
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| Ao lado temos o prisma composto pelos três tetraedrosNote que o tetraedro verde é igual ao laranja,logo possuem o mesmo volume.Agora falta mostrar que o volume do tetraedro amarelo é igual ao dosoutros dois.Para isso,ultilizaremos o Teorema 2 |
Por construção, temos que o segmento DB é paralelo a face ACE. Logo a distância de qualquer ponto do segmento DB a face ACE é sempre a mesma.
Imagine agora um ponto sobre o segmento DB, chamemos de D'. Agora imagine um tetraedro formado pela face ACE e pelo vértice D'. Note que quando D' for igual a D teremos o tetraedro inicial, e que quando D'for igual a B teremos um tetraedro igual ao tetraedro laranja e verde. 

Como a distância de D, D' e B até a face AEC é a mesma, temos, pelo Teorema 2, que os dois tetraedros acima e o tetraedro ao lado tem o mesmo volume. Portanto o tetraedro amarelo inicial tem o mesmo volume que os tetraedros verdes e laranja.
Logo cada um dos tetraedros tem volume igual a um terço do prisma, como queríamosdemonstrar.
PROPORÇÃO
A proporcionalidade, para a matemática, a química e a física, é a mais simples e comum relação entre grandezas. A proporcionalidade direta é um conceito matemático amplamente difundido na população leiga pois é bastante útil e de fácil resolução através da "regra de três". Quando existe proporcionalidade direta, a razão (divisão) entre os correspondentes valores das duasgrandezas relacionadas é uma constante, e a esta constante dá-se o nome de constante de proporcionalidade.
Em regra, a proporcionalidade é uma relação binária que pode ocorrer numa dupla de funções reais de mesmo domínio. Uma função é proporcional a outra se a somente se existe(m) alguma(s) constante(s) real(is) – denominada(s) constante(s) de proporcionalidade – que igual(em) cada razão entre as...
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