Teorema fundamental do Cálculo

Teorema fundamental do Cálculo[editar | editar código-fonte]

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Caso se resolva a integral acima entre os limites a e b, o resultado final pode ser escrito como:
S = \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) onde a função F(x) é a função resultante da integração da função f(x). O problema da integração, isto é, de se encontrar a solução para uma integral, se resume portanto a encontrar a função F(x).

O resultado acima é extremamente importante pois ele oferece uma indicação de como obter a integral. Para ver isto, supõe-se que o limite superior da integral, isto é, b, seja muito próximo de a, tal que se possa escrever: b = a + \Delta x
Como os pontos limites da integral estão muito próximos, pode-se escrever:
\int_{a}^{a+\Delta x} f(x) dx = F(a + \Delta x) - F(a)
Olhando na definição da integração como um limite, dada acima, pode-se dizer que a integral, neste caso, se resume a apenas um dos termos na soma, e portanto pode-se afirmar, sem causar um erro muito grande, que:
\int_{a}^{a+\Delta x} f(x) dx = f(a) \Delta x = F(a + \Delta x) - F(a)
Comparando com a definição da derivada de uma função: f(x) = \frac{ F(x + \Delta x) - F(x) }{ \Delta x } \rightarrow f(x) = \frac{d}{dx} F(x) vê-se que a função procurada F(x) é uma função tal que, quando tomada a sua derivada, obtém-se a função f(x). Em outras palavras, ao se calcular a derivada de uma função pode-se também calcular a integral da função resultante. Esta propriedade mostra que a integração na verdade é a operação inversa da derivação, pois se uma função for derivada e em seguida o resultado integrado, obtém-se a função original. Esta propriedade é chamada de Teorema fundamental do Cálculo.