Teorema de fermat

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TÍTULO DA MONOGRAFIA : ‘ Uma visão otimista sobre o último Teorema de Fermat ‘.

AUTOR : Levi de Queiroz .

FORMAÇÃO ACADÊMICA : Bacharel em matemática pela UERJ .

INÍCIO DA GRADUAÇÃO : Primeiro semestre de 2001 .

TÉRMINO DA GRADUAÇÃO : Primeiro semestre de 2004 .

TELEFONE : ( 021) 3332-8378 , ( 021) 87573696 E-MAIL : lqzmatematica@ yahoo.com.br

CO-AUTORES : André Luís de QueirozEstudante de matemática . Sanny Guttemberg de Queiroz. Estudante de matemática.

I-DEFINIÇÕES: Sejam I = {2.n + 1; n ∈ ¥ } e P = { 2.m; m ∈ ¥ } subconjuntos não vazios. Para fixar o raciocínio caso existam inteiros positivos não nulos a , b e c e p primo ímpar tais que (i) a 0 .
p p p p p

a +b =c
p p

p

, então podemos afirmar :

( ii ) b < c . Se b ≥ c ⇒ b ≥ c = a + b ⇒ a ≤ 0 ,absurdo pois a > 0 .
p p p p p

Iremos adotar para toda a demonstração que a < b < c .

II- Suponhamos , por absurdo , que existam , a ∈ P , p p p +b = c . b ∈ I , c ∈ I e p primo ímpar, tais que a
1- Afirmamos que a ≥ 2 . É óbvio, pois se caso a < 2, então teríamos ou a = 1 ou a = 0 , como a é par teríamos a = 0 .Daí chegaríamos a b = c , contradição pois b < c e a é não nulo . 2- Afirmamosque b ≥ 3 . Se b < 3 , então ou b =0 , ou b=1, ou b=2. Como , por II b ∈ I , logo eliminamos b=0 e b=2.

Se b=1 , ⇒ c-a=1 e

a
p −1

p

+1= c
p −2

p


( c − a) ( c
p −1

p−1

+ c a +... + a

p−2

p −1

) =1



c

+ c a + ... + a

= 1.

Contradição pois : se c ∈ I ⇒

c

p −1

≥ 1,

se c ∈ I e a ∈ P ⇒

se c ∈ I e a ∈ P.............................................................. .............................................................. ..............................................................
2

c .a ≥ 2 >1 ⇒ c .a ≥ 2 > 1
p −3

p −2

se c ∈ I e a ∈ P ⇒ c.a se a ∈ P ⇒

p− 2

≥2 >1

a

p −1

≥2 >1
p −1

c

p −1

+ a.c

p −2

+ ... + a

> 1 + 1 + ... + 1 = p ≥ 3 > 1 , logo b ≥ 3 .

3- Afirmamos que c ≥3 . Caso c < 3 , então ou c =0 , ou c = 1 , ou c = 2 . Como c ∈ I , logo descartarmos c = 0 e c = 2. Vamos supor que c = 1 , então a + b = 1 . mas isto só seria possível se a = 0 e b =1 , ou se a = 1 e b =0. Contradição pois devido a (2) temos que b ≥ 3 e a > 0 logo concluímos que c ≥ 3 . Daí a < c .
p p

4- Afirmamos que c - b > 1 e c − b∈ P . De fato , Sendo c ∈ I , b ∈ I então existem
p −1Daí c − b = 2 ( k 1 − k 2 ) > 0 , portanto c – b >1 e c − b∈ P . 5- Afirmamos que De fato

k

1

∈¥ e

k

2

∈ ¥ tais que
∈I .

c= 2.k

1

+ 1 , b=2.k 2 + 1 .

c

+ b.c

p −2

+ ... + b

p −1

c

p −1

+ b.c

p −2

+ b .c
2

p −3

...c.b
p −1

p 2 −

+b )

p− 1

=c

p −1

+ b.c

p −3

(b + c ) + ... + b

p −2

(b + c) =

=cp −1

+ (b + c)(b.c
p −2 2

p −3

+ ... + b ...c.b

p −2

Como (b + c) ∈ P e

c

p −1

+ b.c

+ b .c

p −3

c

∈ I , então
p 2 −

+b

p− 1

=c

p −1

+ b.c

p −3

(b + c ) + ... + b

p −2

(b + c) =

=c

p −1

+ (b + c)(b.c

p −3

+ ... + b
p−1

p −2

) ∈I

6- Afirmamos que De fato, Como c ≥ 3 ⇒ c

c

+b.c +... + c.b +b >1 .

p−2p−2

p−1

p −1

≥3

p −1

>1 ,
p −2 p −2 p −1

Como c ≥ 3 e b ≥ 3 ⇒ b.c ≥ 3 .3 = 3 > 1 ............................................................................... ............................................................................... ............................................................................... Como c ≥ 3 e b ≥ 3 ⇒ c.b
p− 2

≥3
p−1 p−1

p −2.3 = 3
p −1

p −1

>1
p −1

b c + b.c + ... + c.b
p −1 p −2

Como b ≥ 3 ⇒

p −1

≥3

p −1

=3

>1, + ... + 3 +3
p −1

p− 2

+b

p− 1

>3

+3

>1 .
α

7-Afirmamos que ∃ α ∈ ¡

, com 0 < α < p , tal que c − b = a e
p −1

c

p −1

+c
p

p −2

b + ... + cb
p

p− 2

+b

=a

p −α

.
p −2

a +b =c c–b>1ec
p

⇒ a = ( c − b).
p
p −1...
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