teorema da reciprocidade

UNIVERSIDADE PAULISTA - ARAÇATUBA
ENGENHARIA CIVIL

DISCIPLINA:
Teoria das Estruturas

“TEOREMAS RECÍPROCOS – MAXWELL-BETTI”

Araçatuba
2013

TEOREMAS RECÍPROCOS
Teorema de Betti
“O trabalho produzido por um sistema de forças em equilíbrio quando se desloca devido às deformações produzidas por um outro sistema de forças em equilíbrio, é igual ao trabalho produzido por este segundo sistema de forças quando se desloca devido às deformações produzidas pelo primeiro sistema”.

O princípio dos trabalhos virtuais pode ser utilizado para formular dois teoremas que são úteis na análise de estruturas lineares. Esses teoremas são chamados de reciprocidade e podem ser: Teorema de Maxwell e a sua versão generalizada, o Teorema de Betti.

Considerando dois sistemas estruturais, A e B (Fig. 1), tem-se:


A é composto de um sistema de forças (FA ,fA) associado a uma configuração deformada (DA , dA).



FA são as forças externas atuando sobre a estrutura, fA são os esforços internos em equilíbrio com FA , DA é o campo de deslocamentos externos, e dA são os deslocamentos internos.



O sistema B é análogo ao A e composto de um sistema de forças (FB ,fB) associado a uma configuração deformada (DB , dB).

Demonstra também que, em uma estrutura que exibe comportamento elástico linear, se se considerar dois sistemas de forças, de deslocamentos,

e

e

, que provocam dois campos

, então o produto das forças do sistema

deslocamento no ponto de aplicação da força obtido no sistema das forças do sistema sistema com o

é igual ao produto

com o deslocamento no ponto de aplicação da força obtido no

. Ou seja:

O princípio dos trabalhos virtuais pode ser aplicado a esses sistemas de duas maneiras: ou considerando o sistema A como real e o sistema B como virtual e a outra ao contrário. Assim:

Como a estrutura apresenta um comportamento linear:

Com isso, pode-se enunciar o Teorema de Betti: “se uma estrutura