Teorema da amostragem

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Teorema da amostragem

O teorema da amostragem de Nyquist–Shannon é fundamental no campo da teoria da informação, particularmente na área de telecomunicações e processamento de sinais.
Amostrar é o processo no qual se converte um sinal (por exemplo, uma função contínua no tempo ou espaço) em uma sequência numérica (uma função discreta no tempo ou espaço ). A versão de Shannon do teorema é:(Onde fm é a maior frequência, em Hertz do sinal em questão)
"Seja um sinal, limitado em banda, e seu intervalo de tempo dividido em partes iguais, de forma que se obtenham intervalos tais que, cada subdivisão compreenda um intervalo com período T segundos, onde T é menor do que 1/2*fm, e se uma amostra instantânea é tomada arbitrariamente de cada subintervalo, então o conhecimento da amplitudeinstantânea de cada amostra somado ao conhecimento dos instantes em que é tomada a amostra de cada subintervalo contém toda a informação do sinal original."
O teorema é, muitas vezes, chamado de Teorema da amostragem de Shannon, ou Nyquist-Shannon-Kotelnikov, Whittaker-Shannon-Kotelnikov, Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon, WKS e etc. Também é muitas vezes chamado simplesmente de Teorema daAmostragem.
Pode-se concluir então, que o teorema mostra que um sinal analógico, limitado em Banda, que foi amostrado, pode ser perfeitamente recuperado a partir de uma sequência infinita de amostras, se a taxa de amostragem for maior que 2*Fm amostras por segundo, onde Fm é a maior frequência do sinal original. Porém, se um sinal contiver uma componente exatamente em Fm Hertz, e amostras espaçadas deexatamente 1/(2Fm) segundos, não se consegue recuperar totalmente o sinal.
Interpretações mais recentes do teorema são cuidadosas ao excluir a condição de igualdade; isso é, a condição de que x(t) não contém frequências maiores ou iguais a Fm; Tal condição é equivalente à exceção prevista por Shannon, quando uma função inclui uma componente estável senoidal exatamente na frequência Fm.
O teoremaassume uma idealização de qualquer situação do mundo real, uma vez que o mesmo só se aplica a sinais que são amostrados para tempo infinito; Um sinal x(t) limitado em tempo não pode ser perfeitamente limitado em Banda. A recuperação perfeita do modelo idealizado é matematicamente possível, mas é somente uma aproximação de sinais do mundo real, embora na prática seja uma aproximação muito boa.
Oteorema também leva a uma fórmula para a reconstrução do sinal original. A prática do teorema leva ao entendimento do aliasingque ocorre quando o sistema amostrador não satisfaz as condições do teorema.

Introdução
Um Sinal ou função é limitado em banda se nao contém energia em frequências maiores do que o limite de banda B. Um sinal que é limitado em banda é condicionado a quão rápida é suavariação no tempo, e, consequentemente, quanto detalhe ele pode transmitir em um intervalo de tempo. O teorema da amostragem assegura que as amostras discretas uniformemente espaçadas são uma representação completa do sinal, se sua largura de banda é menos do que a metade da taxa de amostragem. Formalizando tais conceitos, seja  a representação de um sinal contínuo no tempo e seja  sua transformadade fourier:

O sinal  é limitado em banda, B, se:
  para qualquer  
A condição suficiente para uma exata reconstrução a partir das amostras em uma taxa de amostragem uniforme  (em amostras por unidade de tempo) é:

ou, de modo equivalente:

 é chamado de Taxa de Nyquist e é uma propriedade do sinal limitado em banda, enquanto que  é chamado de Frequência de Nyquist e é uma propriedade destesistema de amostragem.
O intervalo de tempo entre amostras sucessivas é referido como intervalo de amostragem:

e as amostras de  são:
(inteiros).
O teorema da amostragem leva a um procedimento para a reconstrução do  original a partir de amostras e, respeitando-se as condições iniciais, garante que essa reconstrução seja exata.

O processo de amostragem
O teorema descreve dois...
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