Teorema da algebra

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Teorema fundamental da álgebra
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Em matemática, o teorema fundamental da álgebra afirma que qualquer polinómio p (z) com coeficientes complexos de uma variável e de grau n ≥ 1 tem alguma raiz complexa. Por outras palavras, o corpo dos números complexos é algebricamente fechado e, portanto, tal como com qualquer outro corpo algebricamente fechado, a equação p(z) = 0 tem n soluções não necessariamente distintas.
Índice  [esconder]  * 1 História * 2 Demonstrações * 2.1 Demonstrações analíticas * 2.2 Demonstrações topológicas * 2.3 Demonstração algébrica * 3 Corolários * 4 Bibliografia |
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[editar]História
Peter Rothe, no seu livro Arithmetica Philosophica publicado em 1608,escreveu que uma equação polinomial de grau  com coeficientes reais pode ter  soluções. Albert Girard no seu livro L'invention nouvelle en l'Algèbre publicado em 1629, afirmou que uma equação polinomial de grau  tem  soluções, mas não disse que tais soluções eram necessariamente complexos. Além disso, ele disse que a sua afirmação era válida «a menos que a equação seja incompleta», querendo dizer comisto que nenhum coeficiente é igual a . No entanto, quando ele explica em detalhe o que quer dizer, torna-se claro que, de fato, ele acredita que a afirmação dele é válida em todos os casos. Por exemplo, ele mostra que a equação

embora incompleta, tem quatro soluções (contadas com multiplicidades):

Em 1637, Descartes escreve em La géométrie o que anos antes Harriot havia descoberto -se  é raiz de um polinómio, então divide o polinómio. Descartes afirmou também que para todas as equações de grau n, podemos imaginar n raízes, mas estas podem não corresponder a quantidades reais.
Uma consequência do teorema fundamental da Álgebra é que qualquer polinómio com coeficientes reais e grau superior a  pode ser escrito como produto de polinómios com coeficientes reais de primeiro ou segundograu. No entanto, em 1702 Leibniz afirmou que nenhum polinómio do tipo  (com  real e não nulo) pode ser obtido sob aquela forma. Anos mais tarde, Nicolaus II Bernoulli(1695-1726) afirmou o mesmo relativamente ao polinómio

mas recebeu uma carta de Euler em 1742 na qual lhe foi explicado que o seu polinômio era de fato igual a:

sendo  a raiz quadrada de

enquanto que:

Uma primeira tentativade demonstrar o teorema foi levada a cabo por d'Alembert em 1746, mas na altura a demonstração foi considerada incorrecta. Entre outros problemas, usava implicitamente um teorema (atualmente designado por teorema de Puiseux) que só viria a ser demonstrado um século mais tarde e cuja demonstração se pensava depender do teorema fundamental da álgebra. No entanto, hoje em dia há quem defenda que ademonstração de d'Alembert foi mal compreendida, e que de facto não depende do teorema fundamental da álgebra ou seja, não é circular. Este teorema é hoje em dia considerado inadequado por muitos matemáticos, por não ser fundamental para a álgebra contemporânea.
Outras tentativas foram levadas a cabo por Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772) e Laplace (1795). Estas últimas quatrotentativas recorreram à tese de Argand; mais precisamente, a existências de raízes era dada como certa e o que faltava provar era que eram da forma  para números reais  e . Em terminologia moderna, Euler, de Foncenex, Lagrange e Laplace estavam a supor a existência de um corpo de decomposição do polinômio .
No fim do século XVIII foram publicadas duas novas demonstrações que não supunham a...
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