Tecnicas De Otimiza O

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Lista de Exercício II: Otimização Não Linear

Disciplina: Técnicas de Otimização
Professor: Eduardo Nunes Gonçalves

Implemente no MATLAB os seguintes métodos de otimização:

a) Algoritmo Quasi-Newton BFGS;
b) Algoritmo Elipsoidal básico;
c) Algoritmo Genético - Real Polarizado (utilizar a implementação disponibilizada pelo professor).

Nota: Não é necessário anexar a listagem dos programas.1. Utilize os métodos de otimização acima para obter a solução do problema mono-objetivo irrestrito:


para as seguintes funções objetivo:
a)
b)
c)

Utilize a mesma condição inicial com os três métodos, obtida de forma aleatória (escolha uma que atenda e ), para cada um dos problemas. Apresente o gráfico da sequencia de soluções xk sobre o mapa das curvas de nível da função objetivo. Compare ostrês métodos considerando o tempo de processamento, capacidade de obter uma solução e a precisão da solução obtida. Observe pelas curvas de nível as características de diferenciabilidade, convexidade e multimodalidade e relacione tais características como o comportamento dos três métodos. Obs.: No caso do algoritmo genético, adotar os seguintes limites para as variáveis de otimização e . Usar asmesmas faixas para apresentação de todos os gráficos.

2. Utilize os métodos de otimização acima para obter a solução do problema mono-objetivo restrito:




Experimente, quando necessário, métodos de barreira e métodos de penalidades para o tratamento das restrições. Apresente a fórmula adotada para aquele que obteve o melhor resultado com cada método e o gráfico da sequência de soluções xksobre o mapa das curvas de nível da função objetivo, utilizando a mesma condição inicial, obtida de forma aleatória (escolha uma que atenda e ), para os três métodos. Obs.: No caso do algoritmo genético, adotar os seguintes limites para as variáveis de otimização e . Usar as mesmas faixas para apresentação de todos os gráficos.

Resultados para a Questão 1

a)



Figura 1 - Gráfico da funçãoobjetivo da letra (a)
Método de Quasi- Newton:


Figura 2 – Valores ótimos da função f(x) em cada interação

Figura 3 - Curvas de nível da função f(x) com os respectivos valores em cada interação
Resultado do prompt de comando:


Dados de saída:
X1 ótimo = -0.0410
X2 ótimo = -1.5854
f ótimo = -5.3561
Tempo de processamento = 0,130059 s
Erro X1 = 4,1% para menos
Erro X1 = 36,59 % para menos
Erro f=14,4 % para menos

Observa-se que o método converge rapidamente para a região de mínimo da função e isso ocorre a partir da 2ª interação. Salienta-se que essa convergência não ocorre para o ponto exato de mínimo (0, -2,5), como pode ser observado nos erros para x1, x2. No entanto, diante do erro encontrado pode-se afirmar que o resultado obtido atende perfeitamente ao que se desejava.
Conformeapresentado na Figura 3, a função possui suas derivadas bem definidas, é convexa e unimodal Diante dessas características, já era de se esperar que o método de quasi- Newton convergisse.










Método Elipsoidal básico:


Figura 4 – Valores ótimos da função f(x) em cada interação
Figura 5 - Curvas de nível da função f(x) com os respectivos valores em cada interação
Resultado do prompt decomando:

Dados de saída:
X1 ótimo = 0,0007
X2 ótimo = -2,5026
f ótimo = -6,2496
Tempo de processamento = 0,054018 s
Erro X1 = 0,07% para mais
Erro X1 = 0,1% para mais
Erro f= 0,006% para menos

Observa-se que o método, com relação ao número de interações, converge mais lentamente que o algoritmo de quasi-Newton. Isso provavelmente se deve ao fato do algoritmo elipsoidal envolver otimizações linearescuja estrutura de restrições cresce a cada interação. Apesar disso, destaca-se a precisão em encontrar o ponto ótimo, observe-se que os erros são desprezíveis, destaca-se também, a rapidez para se obter essa solução ótima, ainda que tenha sido necessário um maior número de interações para que tal resposta fosse encontrada.
O algoritmo até foge do ponto de mínimo em algumas interações, mas...
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