Tecnicas De Integra O

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Elaborado por: João Batista F. Sousa Filho (Graduando Engenharia Civil –UFRJ- 2014.1)

Bizu:
(I)

Resumo com exercícios resolvidos do assunto:
Métodos de Integração.

(I)

Métodos de Integração.

Nesse #OlhaoBizu vamos abordar os métodos de integração por substituição simples,
integração por partes, integração por substituição trigonométrica e integração porfrações
parciais.
Substituição Simples
O método de integração por substituição simples consiste em poder encontrar em
uma mesma função , alguma outra função e a sua derivada de forma que possa se substituir a
integral para outra variável deixando a integral trivial (integral de polinômio, seno, cosseno,
exponencial, etc).
Exemplo 1:
𝒙. 𝒔𝒆𝒏 𝒙𝟐 𝒅𝒙
Utilizamos x²=f(x) e f’(x) = 2x
Na notação deLeibniz,temos:
𝑢 = 𝑥² ,

𝑑𝑢
= 2𝑥
𝑑𝑥

𝑥. 𝑑𝑥 =

𝑑𝑢
2

Agora, podemos transformar a função de x para função de u, substituindo as relações
encontradas. Temos:
𝒙. 𝒔𝒆𝒏 𝒙𝟐 𝒅𝒙 =

𝒔𝒆𝒏 𝒖

𝒅𝒖 𝟏
=
𝟐
𝟐

𝒔𝒆𝒏 𝒖 𝒅𝒖

Agora, resolvendo a integral trivial, temos:
𝟏
𝟐

1
𝒔𝒆𝒏 𝒖 𝒅𝒖 = − cos 𝑢 + 𝐶
2

Substituindo para x novamente, temos:
1
1
− cos 𝑢 + 𝐶 = − cos x² + C
2
2
1
𝒙. 𝒔𝒆𝒏 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = − cos x² + C
2
Exemplo 2:
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥
Darelação trigonométrica cotg(x) =

𝑐𝑜𝑠 (𝑥)
sen (𝑥)

cos⁡
(𝑥)
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
Nesta integral, podemos notar que temos a função sen(x) e a cos(x) que são uma derivada da
outra.Neste caso, fazemos:
𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑢
𝑑𝑢
= cos 𝑥 ,
𝑑𝑥

𝑑𝑢 = cos 𝑥 𝑑𝑥

Substituindo os valores encontrados na integral, temos:
𝑑𝑢
= ln 𝑢 + 𝐶
𝑢
Voltando para variável x, temos:
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝐶
Exemplo 3:
𝑎𝑥 − 𝑏 𝑑𝑥
(𝑆𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑒 𝑏 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠𝑛ã𝑜 𝑛𝑢𝑙𝑎𝑠)

Temos:
𝑢 = 𝑎𝑥 − 𝑏
𝑑𝑢
𝑑𝑢
= 𝑎 , 𝑑𝑥 =
𝑑𝑥
𝑎
Substituindo na integral, temos:
𝑎𝑥 − 𝑏 𝑑𝑥 =
1
𝑎

𝑢

𝑢𝑑𝑢 =

𝑑𝑢 1
=
𝑎
𝑎

𝑢𝑑𝑢

1 2 3/2
. 𝑢 +𝐶
𝑎 3

Transformando para função de x novamente, temos:
𝑎𝑥 − 𝑏 𝑑𝑥 =

2
(𝑎𝑥 − 𝑏)3/2 + 𝐶
3𝑎

Integral por Partes
Essa é uma regra derivada da regra do produto na derivação e pode ser
aplicada para diversos tipos de integrais. Temos:
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥



= 𝑓 ′ 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥𝑔′ 𝑥

𝑓 𝑥 𝑔 𝑥



− 𝑓 ′ 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥

Integrando em ambos os lados, temos:
𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 =

𝑓 𝑥 𝑔 𝑥



𝑑𝑥 −

𝑓 ′ 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑣

𝑑𝑢

𝐶𝑕𝑎𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓 𝑥 = 𝑢 𝑒 𝑔 𝑥 = 𝑣 , 𝑓’ 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑒 𝑔′ 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑒 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 , 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠:

𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −

𝑣𝑑𝑢

Para poder se utilizar esse método, é necessário que após aplica-lo encontraremos
uma integral trivial, ou a mesma integral. Vamos aos exemplos.
Exemplo 1:
𝑥 2 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥
Primeiro,devemos analisar qual das duas poderia, ao ser derivada, tornar a integral
trivial. Vemos que a função x² ao ser derivada duas vezes tornaria uma integral trivial,
apenas trigonométrica. Logo, temos:

𝑢 = 𝑥² , 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥
1
𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 , 𝑣 = − cos 2𝑥
2
Pelo método de integral por partes
𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −
𝑥 2 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 = −

𝑣𝑑𝑢

cos 2𝑥 𝑥²

2

𝑥 2 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 = −

cos 2𝑥 𝑥²
+
2



cos 2𝑥 2𝑥𝑑𝑥
2

cos 2𝑥𝑥𝑑𝑥

Aplicando partes novamente, temos:
cos 2𝑥 𝑥𝑑𝑥
𝑢 = 𝑥 , 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 , 𝑣 =
𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −
𝑥𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 =

𝑥𝑠𝑒𝑛(2𝑥)

2

𝑥 2 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 = −

1
sen 2𝑥
2
𝑣𝑑𝑢

1
𝑥𝑠𝑒𝑛(2𝑥) cos(2𝑥)
𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 =
+
2
2
4

cos 2𝑥 𝑥² 𝑥𝑠𝑒𝑛(2𝑥) cos(2𝑥)
+
+
+C
2
2
4

Como vimos neste exercício, há a possibilidade de aplicar muitas vezes este método
até determinar a integral.
Exemplo 2:
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥
Como não é uma integral trivial,podemos recorrer ao método de partes. Temos:
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 . 1. 𝑑𝑥

𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −

𝑣𝑑𝑢

𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 , 𝑑𝑢 =

𝑑𝑥
𝑥² + 1

𝑑𝑣 = 1. 𝑑𝑥 , 𝑣 = 𝑥
Substituindo:
𝑥𝑑𝑥
𝑥² + 1

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 = 𝑥. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥) −
Pelo método de substituição simples, temos:
𝑥𝑑𝑥
𝑥2 + 1
𝑢 = 𝑥² + 1

,

𝑑𝑢
= 𝑥𝑑𝑥
2

𝑑𝑢 ln|𝑥 2 + 1|
=
+𝐶
2𝑢
2
Logo:
ln|𝑥 2 + 1|
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 = 𝑥. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥) −
+C
2
Como vimos nesta questão, para determinar umaintegral por partes também
podemos utilizar outros métodos.
Exemplo 3:
𝑒 9𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥
Utilizando o método de integração por partes, temos:
𝑢 = cos 2𝑥

, 𝑑𝑢 = −2𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 𝑒 9𝑥 𝑑𝑥 , 𝑣 =

𝑒 9𝑥
9

Aplicando partes:
𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −
𝑒 9𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 =

𝑒

9𝑥

𝑒 9𝑥 cos(2𝑥)

9

𝑣𝑑𝑢
𝑒 9𝑥
( − 2𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥)
9

𝑒 9𝑥 cos(2𝑥) 2
cos 2𝑥 𝑑𝑥 =
+
9
9

𝑒 9𝑥 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥

Utilizando partes novamente,...
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