Tecnicas De Integra O

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Elaborado por: João Batista F. Sousa Filho (Graduando Engenharia Civil –UFRJ- 2014.1)

Bizu:
(I)

Resumo com exercícios resolvidos do assunto:
Métodos de Integração.

(I)

Métodos de Integração.

Nesse #OlhaoBizu vamos abordar os métodos de integração por substituição simples, integração por partes, integração por substituição trigonométrica e integração por frações parciais. Substituição Simples
O método de integração por substituição simples consiste em poder encontrar em uma mesma função , alguma outra função e a sua derivada de forma que possa se substituir a integral para outra variável deixando a integral trivial (integral de polinômio, seno, cosseno, exponencial, etc).
Exemplo 1:
𝒙. 𝒔𝒆𝒏 𝒙𝟐 𝒅𝒙
Utilizamos x²=f(x) e f’(x) = 2x
Na notação de Leibniz,temos:
𝑢 = 𝑥² ,

𝑑𝑢
= 2𝑥
𝑑𝑥

𝑥. 𝑑𝑥 =

𝑑𝑢
2

Agora, podemos transformar a função de x para função de u, substituindo as relações encontradas. Temos:
𝒙. 𝒔𝒆𝒏 𝒙𝟐 𝒅𝒙 =

𝒔𝒆𝒏 𝒖

𝒅𝒖 𝟏
=
𝟐
𝟐

𝒔𝒆𝒏 𝒖 𝒅𝒖

Agora, resolvendo a integral trivial, temos:
𝟏
𝟐

1
𝒔𝒆𝒏 𝒖 𝒅𝒖 = − cos 𝑢 + 𝐶
2

Substituindo para x novamente, temos:
1
1
− cos 𝑢 + 𝐶 = − cos x² + C
2
2
1
𝒙. 𝒔𝒆𝒏 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = − cos x² + C
2
Exemplo 2:
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥
Da relação trigonométrica cotg(x) =

𝑐𝑜𝑠 (𝑥) sen (𝑥)

cos⁡
(𝑥)
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
Nesta integral, podemos notar que temos a função sen(x) e a cos(x) que são uma derivada da outra.Neste caso, fazemos:
𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑢
𝑑𝑢
= cos 𝑥 ,
𝑑𝑥

𝑑𝑢 = cos 𝑥 𝑑𝑥

Substituindo os valores encontrados na integral, temos:
𝑑𝑢
= ln 𝑢 + 𝐶
𝑢
Voltando para variável x, temos:
𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝐶
Exemplo 3:
𝑎𝑥 − 𝑏 𝑑𝑥
(𝑆𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑒 𝑏 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑛ã𝑜 𝑛𝑢𝑙𝑎𝑠)

Temos:
𝑢 = 𝑎𝑥 − 𝑏
𝑑𝑢
𝑑𝑢
= 𝑎 , 𝑑𝑥 =
𝑑𝑥
𝑎
Substituindo na integral, temos:
𝑎𝑥 − 𝑏 𝑑𝑥 =
1
𝑎

𝑢

𝑢𝑑𝑢 =

𝑑𝑢 1
=
𝑎
𝑎

𝑢𝑑𝑢

1 2 3/2
. 𝑢 +𝐶
𝑎 3

Transformando para função de x novamente, temos:
𝑎𝑥 − 𝑏 𝑑𝑥 =

2