Tecnica da Construção

Prof. Miguel Aroztegui - UnP - Escola de Engenharias e Ciˆ encias Exatas

Representa¸ c˜ ao de n´ umeros reais
Todo n´ umero real x admite uma representa¸c˜ao exata na base β ∈ N − {1} quando existem m, n ∈ N ∪ {0} e dm , . . . , d0 , d−1 , . . . , d−n ∈ {0, 1, 2, . . . , β − 1} de modo que: m x = dm × β m + · · · + d0 × β 0 + d−1 × β −1 + · · · + d−n × β −n =

di × β i . (1) i=−n De outra forma, x ∈ R admite uma representa¸c˜ao exata na base β ∈ N − {1} quando ´e poss´ıvel escrever x como soma finita de termos da forma (1). Assim sendo, a representa¸c˜ ao do n´ umero x na base β se escreve:
(x)β = dm . . . d0 • d−1 . . . d−n .
3
umero x = admite uma representa¸c˜ao exata na base
Exemplo 1: O n´
2
β = 10 porque admite a seguinte decomposi¸c˜ao: x = 1 × 100 + 5 × 10−1 , portanto (x)10 = 1 • 5. Este mesmo n´ umero x admite outra representa¸c˜ao na base β = 2 porque: x = 1 × 20 + 1 × 2−1 , assim, (x)2 = 1 • 1.
Exemplo 2: Seja (x)10 = 23.125 a representa¸c˜ao do n´ umero x na base 10. O n´ umero x admite uma representa¸c˜ao exata na base 2 dado ´e poss´ıvel escrever a seguinte decomposi¸c˜ ao: x = 1 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20 + 0 × 2−1 + 1 × 22 , portanto (x)2 = 10111 • 01.
1
Exemplo 3: O n´ umero x = n˜ao admite uma representa¸c˜ao exata na base
3
10 dado que x s´ o pode ser representado como uma somat´oria infinita da forma:
∞

x = 3 × 10−1 + 3 × 10−2 + 3 × 10−3 + 3 × 10−4 + · · · =

3 × 10−i , i=1 isto ´e (x)10 = 0 • 33333 . . . . Contudo, x admite uma representa¸c˜ao exata na base 3, isto acontece porque: x = 1 × 3−1 por tanto, (x)3 = 0 • 1.
√
Exemplo 4: Os n´ umeros irracionais, por exemplo π ou 2, n˜ao admitem representa¸c˜ ao exata em nenhuma base β ∈ N − {1}. O motivo disto ´e porque os n´ umeros irracionais n˜ ao s˜ ao representados por uma raz˜ao de dois n´ umeros inteiros. Portanto, qualquer que seja a base escolhida, todo n´ umero irracional ser´ a representado apenas