Taxa de variação

CEFET-Ba
Cálculo Diferencial e Integral I
Prof. Edmary

Derivada como uma taxa de variação

Interpretação Cinemática da derivada

Considere o movimento retilíneo dum corpo sólido.
A – material móvel (representação) S – distância percorrida s = f(t) = s(t) t – tempo A0 – posição inicial
Durante o intervalo de tempo [pic]t, a grandeza s recebeu um acréscimo [pic]s . S(t2) – S(t1) = S(t1 +[pic]t) – S(t1) = [pic]s

S(t1) S(t2) = S(t1+[pic]t)

A0 A A1 t1 [pic]t

vm =[pic] (velocidade média – taxa média de variação (variação média) do espaço s (entre os instantes t1 e t1 +[pic]t) durante o intervalo de tempo [pic]t.

• A velocidade do movimento no instante t1. [pic] (velocidade instantânea do movimento)

Exemplo: uma partícula move-se ao longo de uma linha de acordo com a equação s(t) = -3t2 + 2t – 1. Determine: os intervalos de tempo quando a partícula se move para direita, para esquerda e o instante em que a partícula inverte o sentido do movimento. v(t) = s’(t) = - 6t + 2 para direita < 1/3 para esquerda > 1/3 inverte o sentido t = 1/3

Taxa de Variação: A derivada como taxa de variação

Definição 1 : Se y = f(x) e se x varia de x1 a x1 + [pic]x, então y varia de f(x1) a f(x1 + [pic]x). Assim, a variação em y que podemos denotar por [pic]y será f(x1 + [pic]x) - f(x1), quando a variação de x for [pic]x. Então a taxa média de variação de y (a razão média de variação) por unidade de variação em x, quando x varia de x1 a x1 + [pic]x será [pic] Se o limite deste quociente existir quando [pic]x tende a zero, este limite será o que intuitivamente consideremos de taxa variação instantânea de y por unidade de variação de x em x1. [pic] (a derivada de y em relação a x em x1)

Definição 2 : A taxa de variação relativa de y por unidade de variação de x em x1 é dada por: [pic]

Exemplos:

1) Seja V um volume de um cubo