Sólidos de Revolução

Sólidos de revolução
Nesta seção usaremos a integral para calcular o volume de um tipo particular de região do espaço, chamada de sólidos de revolução. (Em Cálculo III, volumes de regiões mais gerais serão calculados usando integral tripla.)
Considere uma função positiva no intervalo [a, b], f : [a; b] -> R+. Seja R a região delimitada pelo gráco de f, pelo eixo x e pelas retas x = a, x = b

Sabemos que a área de R é dada pela integral de Riemann

Consideremos agora o sólido S obtido girando a região R em torno do eixo x, como na figura abaixo:

Sólidos que podem ser gerados dessa maneira, girando uma região em torno de um eixo, são chamados desólidos de revolução. Veremos situações em que a região não precisa ser delimitada pelo gráco de uma função, e que o eixo não precisa ser o eixo x.

Nesta seção desenvolveremos métodos para calcular o volume V (S) de um sólido de revolução S. Antes de começar, consideremos um caso elementar, que será também usado para o caso geral.
Exemplo 6.21. Suponha que f é constante em [a, b], isto é: f(x) = r > 0 para todo x ? 2 [a, b]:

Neste caso, o sólido gerado S é um cilindro (deitado). A sua base é circular de raio r, e a sua altura é b - a. Pela fórmula bem conhecida do volume de um cilíndro,

Queremos agora calcular V(S) para um sólido de revolução qualquer.
O procedimento será o mesmo que levou à propria denição da integral de Riemann: aproximaremos S por sólidos mais elementares. Usaremos dois tipos de sólidos elementares: cilíndros e cascas.
Aproximação por cilindros
Voltemos para o sólido de revolução da seção anterior. Um jeito de decompor o sólido S é de aproximá-lo por uma união de fatias verticais, centradas no eixo x:

Cada fatia é obtida girando um retângulo cujo tamanho é determinado pela função f. Para ser mais preciso, escolhemos pontos no intervalo [a, b], , e a cada intervalo [xi-1; xi] associamos o retângulo cuja base tem tamanho (xi - xi-1) e cuja altura é de f(xi). Ao girar em torno do eixo