Séries de Fourier

1. A IMPORTÂNCIA DA SÉRIE DE FOURIER Existe uma enorme diferença entre estudar séries de Fourier e séries de potências, pois uma série de Fourier funciona como um processo global enquanto que uma série de potências é local.
1.1 PROBLEMAS DE APROXIMAÇÃO Com a série de Taylor de uma função f, obtemos o polinômio de Taylor que dá uma boa aproximação para a função f nas vizinhanças de um ponto, mas uma há uma exigência: que esta função f seja suficientemente suave, ou seja, que f possua derivadas contínuas até uma certa ordem dada, tanto no ponto como nas vizinhanças deste ponto. Para obter um processo de aproximação global, este método falha pois a aproximação de Taylor é local e não global.
1.2 PROBLEMAS DO LIMITE Para obter o limite de f num ponto x0, a aproximação polinomial de Taylor funciona bem mas em pontos distantes de x0, o processo é ruim.Isto acontece também para funções descontínuas e ocorrem falhas pois este processo de aproximação é local.
1.3 PROBLEMAS DA INTEGRAL Para obter valores aproximados para uma integral sobre um intervalo, a aproximação de Taylor não funciona. Este problema pode ser resolvido com o uso de Séries de Fourier uma vez que trabalhamos com funções periódicas.
1.4 JEAN B FOURIER Jean B. Fourier (1768-1830) foi pioneiro na investigação destes problemas. No livro “Théorie Analytique de la Chaleur”, escrito em 1822, ele introduziu o conceito conhecido atualmente como Série de Fourier, que é muito utilizado nas ciências em geral, principalmente nas áreas envolvidas com: Matemática, Engenharia, Computação, Música, Ondulatória,Sinais Digitais, Processamento de Imagens, etc.

2 FUNÇÕES PERIÓDICAS

2.1 CONCEITOS GERAIS SOBRE FUNÇÕES PERIÓDICAS Uma função f: é periódica, se existe um número pR tal que para todo x  R: f(x + p) = f(x)

O número p é um dos períodos de f. Às vezes existem vários números com esta propriedade, mas o menor número real positivo com esta característica é chamado período