Superficies quadraticas - resumo

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Superf´ ıcies Qu´dricas - C´lculo II a a

2004-1 ´ SUPERF´ ICIES QUADRICAS Notas de aula - professora Marlene

1

As formas canˆnicas da equa¸˜o de 2o . grau a trˆs vari´veis o ca e a Para facilitar a compreens˜o, as formas canˆnicas est˜o agrupadas em 3 tipos de equa¸˜es (I, II e III). a o a co ca o ca ca Seja (x, y, z) ∈ R3 ; x, y e z satisfazem a equa¸˜o canˆnica dada o conjunto solu¸˜oda equa¸˜o. Ver procedimento para identificar as representa¸˜es geom´tricas deste conjunto solu¸˜o, ap´s a descri¸˜o de todas as co e ca o ca formas canˆnicas. o (I) Aparecem as trˆs vari´veis e a (I.a) Os coeficientes de x2 , y 2 e z 2 s˜o todos n˜o nulos. a a
z

x2 y2 z2 1. 2 + 2 + 2 = 1 a b c 2. x2 y2 z2 + 2 + 2 = −1 a2 b c ∅

elips´ide (a, b e c n˜o iguais) o a
x y

esfera (a = b = c)x2 y2 z2 3. 2 + 2 − 2 = 1 a b c x2 y2 z2 4. 2 + 2 − 2 = −1 a b c x2 y2 z2 5. 2 + 2 − 2 = 0 a b c 6. x2 y2 z2 + 2 + 2 =0 a2 b c

z

x

y

hiperbol´ide de uma folha o

z

x

y

hiperbol´ide de duas folhas o

z

x

y

cone de duas folhas

(0, 0, 0)

ponto

(I.b) Apenas um dos coeficientes de x2 , y 2 e z 2 ´ nulo. e x2 y2 + 2 − cz = 0 2 a b
z

7.

parabol´ide el´ oıptico (a = b)
x z y

parabol´ide circular (a = b) o

x2 y2 8. 2 − 2 − cz = 0 a b

parabol´ide hiperb´lico (sela) o o
x y

(I.c) Um dos coeficientes de x2 , y 2 e z 2 n˜o ´ nulo e os outros dois s˜o nulos. a e a
z

x2 9. 2 − by − cz = 0 a

calha parab´lica o
x y

(II) Aparecem apenas duas das vari´veis. a x2 y2 10. 2 + 2 = 1 a b 11. 12. x2 y2 + 2 = −1 a2 b y2 x2 + 2 =0 2 a b ∅ eixoz reta
z

cilindro el´ ıptico (a = b)
x y

cilindro circular (a = b)

Superf´ ıcies Qu´dricas - C´lculo II a a x2 y2 13. 2 − 2 = 1 a b 14. item x2 y2 − 2 =0 2 a b
z z

2004-1

2

cilindro hiperb´lico o
x z

par de planos concorrentes em uma reta
x

15. y 2 − cx = 0
x y

cilindro parab´lico o

(III) Aparece apenas uma vari´vel a
z

16. x2 − a2 = 0
x y

par deplanos paralelos ∅
z

17. x2 + a2 = 0 18. x2 = 0

um s´ plano o
x y

co a co a OBSERVACAO: As equa¸˜es dos grupos (I) e (II) ser˜o as mais usadas. As equa¸˜es 2, 11 e 17 n˜o admitem ¸˜ solu¸˜o. As equa¸˜es 6 e 12 apresentam solu¸˜es qua n˜o s˜o superf´ ca co co a a ıcies, s˜o chamadas de solu¸˜es degeneradas. a co Procedimento para identificar a superf´ ıcie que uma equa¸˜o do 2o. graurepresenta. ca
i) Dada uma equa¸ao qualquer do 2o. grau, ap´s algum manuseio alg´brico, a equa¸ao recair´ numa das formas c˜ o e c˜ a canˆnicas no novo sistema de coordenadas. o A primeira etapa ´ completar os quadrados. Por exemplo, se na equa¸˜o aparece x2 + x, ap´s completar o quadrado, e ca o 2 1 1 1 1 2 − . Chame x + x +x = x+ = x , que ´ uma transla¸ao paralela ao eixo x de − . Se na equa¸ao aparecee c˜ c˜ 2 4 2 2 algum termo retangular, a saber xy, xz ou yz, h´ uma rota¸ao de um plano coordenado em rela¸ao ao eixo coordenado que a c˜ c˜ n˜o est´ neste plano. Por exemplo, a ocorrˆncia do termo yz, corresponde a uma rota¸˜o do plano yz em torno do eixo x. a a e ca ii) Depois que a equa¸ao est´ em uma das formas canˆnicas, o primeiro passo ´ verificar se ´ uma das formas c˜ a o e edegeneradas, facilmente reconhec´ ıveis. A seguir, identificar se ´ um plano ou par de planos, isto ´, identificar se a e e equa¸ao recai em uma ou duas equa¸oes de 1o. grau. c˜ c˜ Se n˜o ´ degenerada, nem plano ou planos, para reconhecer a superf´ que a equa¸ao representa, uma ou mais de a e ıcie c˜ uma das seguintes etapas s˜o recomendadas. a • Interse¸ao com os eixos coordenados c˜ (interse¸ao com o eixo x:y = z = 0, obt´m-se x); (interse¸ao com o eixo y: c˜ e c˜ com o eixo z: x = y = 0, obt´m-se z) e x = z = 0, obt´m-se y); (interse¸ao e c˜

• Interse¸ao com os planos coordenados c˜ (interse¸ao com o plano xy: z=0, obt´m-se uma equa¸ao em x e y, que ´ uma curva no plano xy); c˜ e c˜ e (interse¸ao com o plano xz: y=0, obt´m-se uma equa¸ao em x e z, que ´ uma curva no plano xz); c˜ e c˜ e...
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