Sumes

Somas que d˜o muito errado a Carlos Tomei, PUC-Rio
10 de mar¸o de 2011 c Vamos denotar por

√
1− 5 r= ≈ −0.6180
2
a raz˜o da progress˜o geom´trica a a e 1, r, r2 , r3 , . . . ,
Nossa inten¸˜o ´ mostrar um perigo frequente quando fazemos contas aproximadas. ca e
Para come¸ar, observe esses dois fatos muitos simples sobre a progress˜o. c a
1. O termo geral, rn , vai a zero — isso ´ ´bvio: afinal, |r| < 1. eo 2. Para n = 2, 3, . . . , rn = rn−1 + rn−2 . De fato, dividindo por rn , todas essas igualdades se transformam em r2 = r + 1, e isso ´ muito f´cil de verificar: e a
√
√
√
1− 5 2
3− 5
1− 5
2
r =(
)=
=r+1=
+ 1.
2
2
2
Assim, para calcular potˆncias de r, basta somar as duas potˆncias anteriores, e e o que ´ bem mais f´cil do que sair multiplicando: e a r2 = r1 + r0 ,

r3 = r2 + r1 ,

r4 = r3 + r2 , . . .

Para aproximar r50 , arredondando com quatro algarismos significativos, obtemos, a partir de 1 e −0.6180,
0.3820, −0.2360, 0.1460, −0.0900, 0.0560, −0.0340, , 0.0220, −0.0120, r10 = 0.0100,
−0.0020, 0.0080, 0.0060, 0.0140, 0.0200, 0.0340, 0.0540, 0.0880, 0.1420, r20 = 0.2300,
0.3720, 0.6020, 0.9740, 1.576, 2.550, 4.126, 6.676, 10.80, 17.48, r30 = 28.28,
45.76, 74.04, 119.8, 193.8, 313.6, 507.4, 821.0, 1328., 2149., r40 = 3477.,
5626., 9103., 14730., 23830., 38560., 62390., 101000., 163400., 264400., r50 = 427800.
Algo horr´ aconteceu: o termo geral da sequˆncia, em vez de ir para zero, est´ ıvel e a crescendo! As aproxima¸˜es obtidas para rn s˜o p´ssimas e est˜o piorando. Ali´s, co ae a a at´ a alternˆncia de sinais de rn ≈ (−0.618)n desapareceu. O que pode ter dado e a errado numa simples soma?!
A resposta ´ sutil: para explicar a dificuldade, vamos usar um pouco mais de e nota¸˜o. Vamos pensar a progress˜o geom´trica como sendo uma sequˆncia an : ca a e e a0 = r0 ,

a1 = r 1 ,

...,

an = r n ,

...

Agora, note que existe uma outra progress˜o geom´trica a e b0 = 1,

b1 =