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Somas que d˜o muito errado
a
Carlos Tomei, PUC-Rio
10 de mar¸o de 2011
c
Vamos denotar por


1− 5
r=
≈ −0.6180
2
a raz˜o da progress˜o geom´trica
a
a
e
1, r, r2 , r3 , . . . ,
Nossa inten¸˜o ´ mostrar um perigo frequente quando fazemos contas aproximadas.
ca e
Para come¸ar, observe esses dois fatos muitos simples sobre a progress˜o.
c
a
1. O termo geral, rn , vai a zero —isso ´ ´bvio: afinal, |r| < 1.
eo
2. Para n = 2, 3, . . . , rn = rn−1 + rn−2 . De fato, dividindo por rn , todas essas
igualdades se transformam em r2 = r + 1, e isso ´ muito f´cil de verificar:
e
a



1− 5 2
3− 5
1− 5
2
r =(
)=
=r+1=
+ 1.
2
2
2
Assim, para calcular potˆncias de r, basta somar as duas potˆncias anteriores,
e
e
o que ´ bem mais f´cil do que sairmultiplicando:
e
a
r2 = r1 + r0 ,

r3 = r2 + r1 ,

r4 = r3 + r2 , . . .

Para aproximar r50 , arredondando com quatro algarismos significativos, obtemos,
a partir de 1 e −0.6180,
0.3820, −0.2360, 0.1460, −0.0900, 0.0560, −0.0340, , 0.0220, −0.0120, r10 = 0.0100,
−0.0020, 0.0080, 0.0060, 0.0140, 0.0200, 0.0340, 0.0540, 0.0880, 0.1420, r20 = 0.2300,
0.3720, 0.6020, 0.9740, 1.576, 2.550, 4.126, 6.676,10.80, 17.48, r30 = 28.28,
45.76, 74.04, 119.8, 193.8, 313.6, 507.4, 821.0, 1328., 2149., r40 = 3477.,
5626., 9103., 14730., 23830., 38560., 62390., 101000., 163400., 264400., r50 = 427800.
Algo horr´ aconteceu: o termo geral da sequˆncia, em vez de ir para zero, est´
ıvel
e
a
crescendo! As aproxima¸˜es obtidas para rn s˜o p´ssimas e est˜o piorando. Ali´s,
co
ae
a
a
at´ a alternˆnciade sinais de rn ≈ (−0.618)n desapareceu. O que pode ter dado
e
a
errado numa simples soma?!
A resposta ´ sutil: para explicar a dificuldade, vamos usar um pouco mais de
e
nota¸˜o. Vamos pensar a progress˜o geom´trica como sendo uma sequˆncia an :
ca
a
e
e
a0 = r0 ,

a1 = r 1 ,

...,

an = r n ,

...

Agora, note que existe uma outra progress˜o geom´trica
a
e
b0 = 1,

b1 =s,

b2 = s2 ,
1

...,

b n = sn ,

...

com a mesma propriedade que seus termos s˜o obtidos somando os dois termos
a
anteriores - afinal, a equa¸˜o que r tinha que satisfazer para que essa propriedade
ca
valesse, r2 = r + 1, tamb´m tem por resposta a famos´
e
ıssima raz˜o ´urea,
aa

1+ 5
s=
≈ 1.618.
2
Entretanto, essa gˆmea escondida ´ muito diferente: o termo geral sn vaia infinito!
e
e
Ali´s, at´ sabemos com que velocidade seus termos crescem —- ao passar de um
a
e
elemento bn da sequˆncia para o seguinte, bn+1 , temos que bn+1 /bn = s ≈ 1.618.
e
Vamos avan¸ar um pouco mais: vamos procurar todas as sequˆncias cn para as
c
e
quais valem duas propriedades seguintes.
1 A sequˆncia come¸a com c0 = 1 e c1 = t, um n´mero qualquer fixo.
e
c
u
2 Doterceiro termo em diante, os termos s˜o obtidos somando os dois anteriores,
a
isto ´, cn = cn−1 + cn−2 , para n = 2, 3, . . ..
e
Assim, estamos falando de
c0 = 1,

c1 = t,

c2 = 1 + t,

c3 = 1 + 2t,

c4 = 2 + 3t,

...

A ideia que vamos usar ´ fundamental em matem´tica: vamos explorar a linearidade
e
a
da propriedade que define as sequˆncias a partir de c2 . Nesse caso, isso quer dizero
e
seguinte. Note que n˜o s´ os termos an e bn s˜o a soma dos dois termos anteriores,
ao
a
para n = 2, 3, . . ., mas a sequˆncia dn = xan + ybn obtida misturando esses dois
e
ingredientes tamb´m tem essa propriedade, e isso para qualquer escolha de n´meros
e
u
x e y . Isso ´ muito f´cil de ver: para come¸ar,
e
a
c
dn = xan + ybn ,

dn−1 = xan−1 + ybn−1 ,

dn−2 = xan−2 + ybn−2e se vocˆ somar dn−1 + dn−2 vai obter
e
x(an−1 + an−2 ) + y (bn−1 + bn−2 ) = xan + ybn = dn .
Essa ´ a ideia b´sica atr´s de linearidade: quem tem umas poucas solu¸˜es para
e
a
a
co
uma equa¸˜o obt´m muitas outras usando essas opera¸˜es simples.
ca
e
co
Agora, vamos mostrar que toda sas sequˆncias cn descritas acima s˜o justamente
e
a
dessa forma, cn = xan + ybn , explorando a...
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