Subgrupos finitos de gl(v)

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Teorema 1. Seja V um espa¸o vetorial de dimens˜o finita, e G ⊆ GL(V ) um grupo finito. c a Ent˜o a aplica¸˜o definida por a ca P =
1 |G| T ∈G

T

´ uma proje¸˜o, tal que Im(P ) e Ker(P ) s˜o G-invariantes. e ca a Demonstra¸˜o. Provaremos primeiro que Im(P ) ´ G-invariante, para isso seja T ∗ ∈ G qualquer, ca e e tome P (v) ∈ Im(P ), teremos que
1 T ∗ (P (v)) = T ∗ |G| T ∈G

T (v) =

1 (T ∗T )(v) = P (v) ∈ Im(P ) |G| T ∈G

Onde a ultima igualdade decorre do fato de que a aplica¸˜o ´ ca A∗ : G −→ G T −→ T ∗ T ´ um isomorfismo, o que prova que Im(P ) ´ G-invariante. e e Agora provaremos que P ´ uma proje¸˜o. A composi¸ao P 2 = P ◦ P pode ser desenvolvida e ca c˜ por
1 P ◦ P = ( |G| T ∈G

T )(

1 T) |G| T ∈G

=

1 ( T ∗ )( T) |G|2 T ∗ ∈G T ∈G 1 |G|2

=

(
T ∗ ∈G T ∈GT ∗T )

=

1 |G|2 T ∗ ∈G

|G|P

=

1 |G| T ∗ ∈G

P

=

1 |G|P |G|

=P O que prova que P ´ proje¸ao, e pelo lema, Ker(P ) tamb´m ´ G-invariante, finalizando a prova e c˜ e e do teorema.

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Teorema 2. Se V e W s˜o espa¸os vetoriais sobre um mesmo corpo K, tais que dim(V ) = n a c e dim(W ) = m, ent˜o o espa¸o vetorial Mn×m (K) das matrizes n × m sobre K ´ um produto a c etensorial de V e W . Demonstra¸˜o. J´ sabemos que (Bil(V ∗ × W ∗ , K), T ), com T j´ conhecida, ´ um produto ca a a e tensorial de V e W . Mostraremos que existe um isomorfismo i : Bil(V ∗ ×W ∗ , K) −→ Mn×m (K), e feito isso , construiremos a transorma¸ao bilinear universal que torna Mn×m (K) um produto c˜ tensorial. Note que {A1,1 , ..., A1,m , ..., An,1 , An,m } ´ uma base de Mn×m (K), onde e   1 , se (i, j) = (u, v) Au,v = [ai,j ]; aij =  0 , se i = u ou j = v  Da mesma forma, o conjunto {ϕ1,1 , ..., ϕ1,m , ..., ϕn,1 , ..., ϕn,m }, contru´ usando as bases ıdo duais {φ1 , ..., φn } e {ψ1 , ..., ψm } de V ∗ e W ∗ , respectivamente, definido por ϕi,j = φi ψj ; ´ uma base de Bil(V ∗ × W ∗ , K). e Como as dimens˜es dos dois espa¸os s˜o iguais, sabemos que ´ poss´ contruir o isomoro c a eıvel fismo procurado i : Bil(V ∗ × W ∗ , K) −→ Mn×m (K) Como (Bil(V ∗ × W ∗ , K), T ) ´ um produto tensorial, usaremos T e i para criar T universal e tal que (Mn×m (K), T ) seja um produto tensorial de V e W . i = 1, ...n; j = 1, ..., m

Com efeito, seja T = i ◦ T . Como i ´ linear e T ´ bilinear, conclui-se claramente que T ´ e e e bilinear.

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Mais ainda, dado um outro par (U, S), onde U ´um espa¸o vetorial sobre K e S : V ×W −→ e c U ´ bilinear, sabemos que existe L : Bil(V ∗ ×W ∗ , K) −→ U linear, tal que S = L◦T . Portanto, e tomando L : Mn×m (K) −→ U definida univocamente por L = L ◦ i−1 , fica claro que S = L ◦ T , o que prova que T tem a propriedade universal e que (Mn×m (K), T ) ´ um produto tensorial de e V eW

Teorema 3. Dados V e W espa¸os vetoriais sobre K, se Hom(W, V )´ o espa¸o vetorial c e c dos homomorfismos de W em V , ent˜o existe um isomorfismo canˆnico i : V ⊗ W ∗ −→ a o Hom(W, V ). Demonstra¸˜o. Se α = {v1 , ..., vn } e β = {w1 , ..., wm } s˜o bases de V e W respectivamente, e ca a al´m disso β ∗ = {L1 , ..., Lm } ´ a base dual de β, ent˜o ´ sabido que {vi ⊗ Lj ; i = 1, ..., n; j = e e a e 1, ..., m} ´ uma base de V ⊗ W ∗ . e Portanto, podemos definir i(vi⊗ Lj ) = hij ∈ Hom(W, V ) como hij : W −→ V w −→ hij (w) = Lj (w)vi E estendendo por linearidade, obt´m-se e i : V ⊗ W ∗ −→ Hom(W, V ) αij (vi ⊗ Lj ) −→
i,j i,j

αij hih

Como β ∗ ´ uma base, podemos concluir que os escalares αij s˜o unicos para cada elemento e a ´ de V ⊗ W ∗ , de onde se conclui que i ´ injetiva. Como os dois espa¸os sabedamente possuem a e c mesma dimens˜o, est´ provado que aaplica¸˜o tamb´m ´ sobrejetiva. a a ca e e

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Defini¸˜o 1. Dados (V, +v , ·v ) e (W, +w , ·w ) espa¸os vetoriais sobre o mesmo corpo K, definica c mos a Soma Direta (externa) de V e W (V ⊕ W ) como o espa¸o vetorial (V × W, +, ·) , c onde (v, w) + (v , w ) := (v +v v , w +w w ); v, v ∈ V e w, w ∈ W α · (v, w) := (α ·v v, α ·w w) com α ∈ K , v ∈ V e w ∈ W Teorema 4. Existe V ⊆ V ⊕ W tal...
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