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Universidade do Vale do Rio dos Sinos
Ciências Exatas e Tecnológicas
100592 – Equações Diferenciais e Séries – Lista 3
16/3/2013 – Prof. Marcelo Maximiliano Danesi

1. Encontre a solução geral das sequintes EDOL’s de primeira ordem.
a) 3

dy
+ 12y = 4 dx b) x2 y ′ + xy = 1
c)

dx
= x + ey dy 2. [Aplicação-Solutos] No instante t0 = 0 um tanque contém 200L de solução contendo 1 grama de corante por litro. Água pura entra no tanque à razão de 2L/min e uma mistura homogênea sai na mesma razão. Quanto tempo transcorre até que a concentração de corante atinja 1% da concentração original? Considere que quantidade de corante Q(t) (em g) é a solução do
PVI abaixo.
Q′ = −2 · Q/200
Q(0) = 200L · 1g/L = 200g.
Dica: Resolva o PVI e encontre o t tal que Q(t) = 2g.

3. Encontre a solução geral das sequintes EDOL’s de primeira ordem.
a) y ′ + 3x2 y = x2
b) x

dy
+ 4y = x3 − x dx c) x

dy
+ (3x + 1)y = e−3x dx d† )

dy
−2e−2x
+y = x dx e + e−x

e)

dr
− r tg(θ) = sec(θ), onde θ ∈ (−π/2, π/2) dθ f† ) (x + 4y)dy + 2ydx = 0

4. Em cada item, encontre a solução particular da EDO que satisfaz a condição inicial fornecida resolvendo o problema de valor inicial (PVI) dado.
a)

r′ − r tg(θ)√ sec(θ)
=
r(π/4) = 3 2π/2

b)

xy ′ + y = ex y(1) = e/2

5. Encontre a solução geral da sequinte EDOL de primeira ordem.
(x − 2)2 y ′ + (x − 2)y = 1
Dica: Compare com o exercício (1b) dessa lista.

Respostas:
1)
a) y(x) = 1/3 + Ce−4x ; C ∈ R
b) y(x) = (ln |x| + C)/x; C ∈ R
c) x(y) = (y + C)ey ; C ∈ R

2)
Solução do PVI: Q(t) = 200e−t/100 e, se Q(t) = 2g, então t = 100 ln(100) ≈ 460, 52min.

3)
3
a) y(x) = 1/3 + Ce−x ; C ∈ R
b) y(x) = x3 /7 − x/5 + Cx−4 ; C ∈ R
c) y(x) = (x + C)/(xe3x ); C ∈ R
d) y(x) = e−x (ln(1 + e−2x ) + C); C ∈ R
e) r(θ) = (θ + C)/ cos(θ); C ∈ R
√
f) x(y) = −(4/3)y + C/ y; C ∈ R
4)
a) r cos(θ) = θ + 5π/4
b) xy = ex − e/2

5)
(x − 2)y = ln |x − 2| + C; C ∈ R