Solucionário Guidorizzi

CAPÍTULO 1
Exercícios 1.1
1. b) 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, ..., sendo o termo geral dado por
2
2 n␲ ˆ
, n у 2. an ϭ 1 ϩ sen Ê
Ë 3 ¯
3
( nϩ1 Ϫ n ) ( nϩ1 ϩ n ) ϭ ( nϩ1 ϩ n ) nÆ ϱ

2. b) lim ( nϩ1 Ϫ n ) ϭ lim nÆ ϱ

ϭ lim

nÆ ϱ

1 ϭ 0. nϩ1 ϩ n

n

d) Seja an ϭ

 t k , 0 Ͻ Ȋt Ȋ Ͻ 1. Temos

kϭ0

an ϭ 1 ϩ t ϩ t2 ϩ ... ϩ tn e tan ϭ t ϩ t2 ϩ t3 ϩ ... ϩ tnϩ1.
Subtraindo membro a membro, an Ϫ tan ϭ 1 Ϫ tnϩ1, ou seja, an ϭ

1 Ϫ t nϩ1
.
1Ϫ t n Como 0 Ͻ Ȋ t Ȋ Ͻ 1, lim t nϩ1 ϭ 0. Logo, lim nÆ ϱ

nÆ ϱ

Â

t k ϭ lim

kϭ0

Ϫ2

È nù Ϫ
ÍÊ
ˆ 2ú
Í
2 n
1 ˜ ú
f) lim Ê1 Ϫ ˆ ϭ lim ÍÁ1 ϩ ú n˜ n¯ nÆ ϱ Ë nÆ ϱ ÍÁ
Á
Ϫ ˜ ú
¯
ÍË 4 244 ú
1 4 2 3 ú Í e û
Î
n

1 nÆ ϱ Ú

h) lim

1 dx , onde ␣ é um real dado. x␣ ϭ eϪ2 .

nÆ ϱ

1 Ϫ t nϩ1
1
ϭ
.
1Ϫ t
1Ϫ t

Se ␣ ϭ 1, a integral resulta em: lim [ln x ]1 ϭ lim ln n ϭ ϱ . n Se ␣

1, a integral resulta em:

nÆ ϱ

nÆ ϱ

n ϩϱ , se ␣ Ͻ 1
È x1Ϫ␣ ù n1Ϫ␣ Ϫ1 Ï Ϫ1
Ô
lim Í ú ϭ lim 1 Ϫ ␣ ϭ Ì
, se ␣ Ͼ 1. n Æ ϱ Î 1Ϫ␣ û1 nÆ ϱ
Ô1 Ϫ␣
Ó

i) lim

nÆ ϱ

n
1
eϪsx dx ϭ lim ÈϪ eϪsx ù ϭ ú 0 nÆ ϱ Í s
Î
û0

Ú

n

1
1
ϭ lim ÊϪ ˆ (eϪsn Ϫ 1) ϭ ( s Ͼ 0).
Ë s¯ s nÆ ϱ n n Æ ϱ Ú2

1
1
A
B
dx. Seja ϭ ϩ
. Temos 1 ϭ A(x Ϫ 1) ϩ B x. Daí,
2 Ϫx
Ϫx
x x x Ϫ1
1 ϭ (A ϩ B) x Ϫ A ¤ A ϭ Ϫ1 e B ϭ 1.
k) lim

x2

Portanto, n n Æ ϱ Ú2

lim

È
1
dx ϭ lim Í
2 Ϫx x nÆ ϱ Î

ϭ lim

nÆ ϱ

m) lim sen n Æϱ

n

Ú2

Ϫ

dx ϩ x

n

Ú2

dx ù ϭ x Ϫ1 ú û {[Ϫln x] ϩ [ln( x Ϫ1)] } ϭ lim ln 2 ÊË1 Ϫ 1 ˆ¯ ϭ ln 2. n n
2

n
2

nÆ ϱ

1 ϭ sen 0 ϭ 0. n 0
1
1 sen n ϭ lim x sen ϭ 0.
o) lim ϩ x nÆ ϱ n xÆ0 limitada

p) an ϭ cos n␲ ϭ (Ϫ1)n. Vamos mostrar que lim cos n␲ não existe. Como n Æϱ

ȊanȊ ϭ 1, tal limite não poderá ser ϱ e tampouco Ϫϱ. Por outro lado, como o valor de an é 1 ou Ϫ1, para todo real L, e para todo natural n0 a afirmação
“qualquer que seja o natural n, n Ͼ n0 Þ Ȋan Ϫ