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XXI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Terceira Fase – Nível 1

Instruções:
A duração da prova é de 4 horas e 30 minutos.
 Não é permitido o uso de calculadoras nem consultas a notas ou livros.
 Você pode solicitar papel para rascunho.
Todas as suas soluções devem ser justificadas. PROBLEMA 1
Diga como dividir um cubo em 1999 cubinhos. A figura mostra uma maneira de dividir um cubo em 15 cubinhos.

PROBLEMA 2
Emanuela, Marta e Isabel são três nadadoras que gostam de competir e por isso resolveram organizar um desafio de natação entre elas. Ficou combinado o total de pontos para o primeiro, o segundo e o terceiro lugares em cada prova. A pontuação para primeiro lugar é maior que a para o segundo e esta é maior que a pontuação para o terceiro. As pontuações são números inteiros positivos. O desafio consistiu de várias provas e ao final observou-se que Emanuela fez 20 pontos, Marta 9 pontos e Isabel 10. A primeira prova foi vencida por Isabel.

(a) Quantas provas foram disputadas?
(b) Determine o total de pontos para o primeiro, segundo e terceiro lugares.

PROBLEMA 3
Um reino é formado por dez cidades. Um cidadão muito chato foi exilado da cidade A para cidade B, que é a cidade do reino mais longe de A. Após um tempo, ele foi expulso da cidade B para a cidade C do reino mais longe de B. Sabe-se que a cidade C não é a mesma cidade A. Se ele continuar sendo exilado dessa maneira, é possível que ele retorne à cidade A?

Nota: as distâncias entre as cidades são todas diferentes.

PROBLEMA 4
Adriano, Bruno e Carlos disputaram uma série de partidas de tênis de mesa. Cada vez que um jogador perdia, era substituído pelo que estava a esperar. A primeira partida foi disputada por Adriano e Bruno. Sabe-se que Adriano venceu 12 partidas e Bruno 21. Quantas vezes Adriano e Bruno se enfrentaram?

XXI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Terceira Fase –