Sobre as varias definições de números complexos

Páginas: 25 (6131 palavras) Publicado: 25 de setembro de 2011
Sobre as v´rias defini¸˜es de n´ meros Complexos a co u Gentil Lopes da Silva∗ 10 de fevereiro de 2010

Resumo O objetivo deste trabalho ´ fazermos uma cr´ e ıtica (exegese) sobre as v´rias defini¸˜es de n´meros complexos, existentes na literatura. a co u

“. . . que

o meu pensamento

quis aproximar-se dos problemas do esp´ ırito pela via de uma diversa experimenta¸ao c˜ de car´ter aabstrato, especulativo, resultante das conclus˜es de processos l´gicos da o o mais moderna f´ ısico-matem´tica.” a ( Pietro Ubaldi )

1

Introdu¸˜o ca

Como se sabe os conceitos dos entes (objetos) matem´ticos vieram evoluindo a ao longo do tempo, como por exemplo o conceito de fun¸ao (ver [5]). Enquanto c˜ o conceito (defini¸ao) de fun¸ao hoje encontra-se “fechado”; digo, perfeitamente c˜ c˜compreendido, o mesmo n˜o acontece com o importante conceito de n´ mero, a u assim creio. Neste artigo, n˜o apenas estaremos mostrando que os matem´ticos ainda a a hoje trope¸am no conceito de n´ mero como tamb´m construiremos uma defini¸ao c u e c˜ − de tal ente − a qual tem nos rendido bons dividendos; digo, uma defini¸ao c˜ plenamente satisfat´ria. o

2

Sobre os n´ meros complexos u

Que osmatem´ticos do s´culo XVIII ainda n˜o tinham uma compreens˜o a e a a satisfat´ria do conceito de n´ meros − em particular o de n´ meros complexos ´ o u u e o que se depreende da cita¸ao a seguir (ver [1]): c˜
A ambivalˆncia dos matem´ticos do s´culo XVIII em rela¸ao aos n´ meros complexos pode mais e a e c˜ u uma vez ser evidenciada em Euler. Apesar de seus trabalhos em que ensinava a operar comeles, afirma “Como todos os n´ meros conceb´ u ıveis s˜o maiores ou menores do que zero ou iguais a zero, fica a ent˜o claro que as ra´ a ızes quadradas de n´ meros negativos n˜o podem ser inclu´ u a ıdas entre os n´ meros u poss´ ıveis [n´ meros reais]. E esta circunstˆncia nos conduz ao conceito de tais n´ meros, os quais, u a u por sua pr´pria natureza, s˜o imposs´ o a ıveis, e que s˜o geralmentechamados de n´ meros imagin´rios, a u a pois existem somente na imagina¸ao.” c˜
∗ www.dmat.ufrr.br/∼

gentil ∴ gentil.silva@gmail.com

1

Gentil

2

Observe que, na mente de Euler, “todos os n´ meros conceb´ u ıveis s˜o maiores a ou menores do que zero ou iguais a zero”; o que prova que Euler e, por extens˜o os demais matem´ticos, n˜o havia ainda atinado com uma compreens˜o a a a anecess´ria do conceito de n´ mero. a u Nota: Como dissemos o conceito de n´ mero veio evoluindo ao longo dos u s´culos; portanto ´ perfeitamente compreens´ que os matem´ticos, de ent˜o, e e ıvel a a n˜o se sentissem ` vontade com este conceito, bem sabemos que isto em nada a a diminui os m´ritos destes grandes matem´ticos, o que n˜o nos impede, todavia, e a a de pˆr em evidˆncia esta curiosaparticularidade. o e Agora, o que ´ de surpreender ´ que uma parcela consider´vel dos matem´ticos e e a a hodiernos ainda se sintam trˆpegos quanto ao conceito em quest˜o, como estareo a mos mostrando. Na literatura encontramos algumas abordagens (defini¸oes) para os n´ meros c˜ u complexos; para o prop´sito que temos em mente elegeremos duas defini¸oes − o c˜ as quais acreditamos serem representantes dasdemais. D1. Na referˆncia [1] encontramos: e

1. Introdu¸˜o ca
Iniciaremos lembrando que as opera¸oes de soma e produto de n´ meros reais c˜ u possuem um certo n´ mero de propriedades fundamentais, que s˜o as seguintes: u a (1) A adi¸ao e a multiplica¸ao s˜o comutativas, isto ´, se a e b s˜o n´ meros c˜ c˜ a e a u reais, ent˜o a a + b = b + a, ab = ba. (2) A adi¸ao e a multiplica¸ao s˜oassociativas, isto ´, se a, b e c s˜o n´ meros c˜ c˜ a e a u reais, ent˜o a (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc). (3) A multiplica¸ao ´ distributiva relativamente ` adi¸ao, isto ´, se a, b e c s˜o c˜ e a c˜ e a n´ meros reais, u a(b + c) = ab + bc. (4) Existem e s˜o unicos os n´ meros 0 e 1 satisfazendo as condi¸oes: a ´ u c˜ a + 0 = a, a1 = a,

para todo real a. (5) A todo real a corresponde um...
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