Sistemas lineares

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Sistemas Lineares


1. Equação Linear

Toda equação da forma [pic] é denominada equação linear, em que:

[pic] são coeficientes

[pic] são as incógnitas

b é um termo independente

Exemplos:

a) [pic] é uma equação linear de três incógnitas.

b) [pic] é uma equação linear de quatro incógnitas.

Observações:

1º) Quando o termo independente b forigual a zero, a equação linear denomina-se equação linear homogênea. Por exemplo: [pic].

2º) Uma equação linear não apresenta termos da forma [pic] etc., isto é, cada termo da equação tem uma única incógnita, cujo expoente é sempre 1.

As equações [pic] e [pic] não são lineares.

3º) A solução de uma equação linear a n incógnitas é a seqüência de números reais ou ênupla [pic], que,colocados respectivamente no lugar de [pic], tornam verdadeira a igualdade dada.

4º) Uma solução evidente da equação linear homogênea [pic] é a dupla [pic].

Vejamos alguns exemplos:



1º exemplo: Dada a equação linear [pic], encontrar uma de suas soluções.

Resolução: Vamos atribuir valores arbitrários a x e y e obter o valor de z.

[pic] [pic] [pic]

Resposta: Umadas soluções é a tripla ordenada (2, 0, -6).

2º exemplo: Dada a equação [pic], determinar α para que a dupla (-1, α) seja solução da equação.

Resolução: [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]

Resposta: α = – 4



Exercícios Propostos:

1. Determine m para que [pic] seja solução da equação [pic].









Resp: -1

2. Dada a equação [pic], ache α para que [pic] torne asentença verdadeira.









Resp: -8/5

2. Sistema linear.

Denomina-se sistema linear de m equações nas n incógnitas [pic] todo sistema da forma:

[pic][pic] são números reais.

Se o conjunto ordenado de números reais [pic] satisfizer a todas as equações do sistema, será denominado solução do sistema linear.



Observações:

1ª) Se o termo independente de todasas equações do sistema for nulo, isto é, [pic], o sistema linear será dito homogêneo. Veja o exemplo:

[pic]

Uma solução evidente do sistema linear homogêneo é x = y = z = 0.

Esta solução chama-se solução trivial do sistema homogêneo. Se o sistema homogêneo admitir outra solução em que as incógnitas não são todas nulas, a solução será chamada solução não-trivial.

2ª) Sedois sistemas lineares, S1 e S2, admitem a mesma solução, eles são ditos sistemas equivalentes. Veja o exemplo:

[pic]

[pic]

Como os sistemas admitem a mesma solução {(1, -2)}, S1 e S2 são equivalentes.



Exercícios Popostos:

1. Seja o sistema [pic].

a) Verifique se (2, -1, 1) é solução de S.

b) Verifique se (0,0,0) é solução de S.







Resp: a) éb) não é

2. Seja o sistema: [pic]. Calcule k para que o sistema seja homogêneo.















Resp: k = -3

3. Calcular m e n de modo que sejam equivalentes os sistemas: [pic] e [pic]







Resp: m = 0 e n = 1





3. Expressão matricial de um sistema de equações lineares.

Dentre suas variadas aplicações, as matrizes são utilizadas na resolução deum sistema de equações lineares.

Seja o sistema linear:

[pic]

Utilizando matrizes, podemos representar este sistema da seguinte forma:

[pic] . [pic] = [pic]

[pic] [pic] [pic]

matriz constituída matriz coluna matriz coluna

pelos coeficientes constituída pelas dos termos

das incógnitasincógnitas independentes



Observe que se você efetuar a multiplicação das matrizes indicadas irá obter o sistema dado.

Se a matriz constituída pelos coeficientes das incógnitas for quadrada, o seu determinante é dito determinante do sistema.

Exemplo:

Seja o sistema: [pic].

Ele pode ser representado por meio de matrizes, da seguinte forma:

[pic]...
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