Sistemas lineares

Resolução de sistemas lineares
J. M. Martínez A. Friedlander

1 Alguns exemplos
Comecemos mostrando alguns exemplos de sistemas lineares:

3x + 2y = 5 x − 2y = −1 0.45x1 − 2x2 + 6x3 − x4 = 10 x2 − x5 = 0 −w + 4α + z = −w + 5β + z = w + 4β + z = −w + 2β + α = w+α+β+z = 4 0.42 0.6 0.7 10

(1) (2)

(3)

0x1 + 0x2 + 0x3 + x4 = 1 x+y+z+w y+z+w z+w w x= x= 6 5 = = = = 8 6 4 2

(4)

(5)

(6)

Vemos que um sistema linear consiste em um conjunto de equações, com um conjunto de incógnitas ou variáveis. As variáveis aparecem multiplicadas por um coeciente (que pode ser 1), e o termo variável-coeciente aparece somado a outros termos do mesmo tipo. Por exemplo os seguintes sistemas de equações não são lineares:

x2 + 2y = x−y =

5 0

(7) (8)

xy = 1 x+y = 2

2 Matriz e Termo Independente
Um sistema linear com m equações e n variáveis (x1 , . . . , xn ) pode ser escrito como

a11 x1 + . . . + a1n xn = . . . am1 x1 + . . . + amn xn =
O retángulo de números

b1
(9)

bm



 a11 . . . a1n   . .   . am1 . . . amn se chama Matriz do Sistema. O vetor (b1 , . . . , bm ), se chama Termo Independente. No sistema (1) temos: Matriz = 3 2 1 −2 e termo independente = (5, −1). Em (2) : Matriz =

.45 −2 6 0 1 0

−1 0 0 −1

e termo independente = (10, 0). Em (3), ordenando as variáveis na  −1  −1   1   −1 1 forma (w, α, z, β) temos : Matriz =  4 1 0 0 1 5   0 1 4   1 0 2  1 1 1

e termo independente = (4, 0.42, 0.6, 0.7, 10). Em (4), a matriz é: e o termo independente =(1). Em (5): Matriz =

(0 0 0 0)



1  0   0 0

1 1 0 0
2

1 1 1 0

 1 1   1  1

e termo independente = (8, 6, 4, 2). Em (6) a matriz é

1 1

e termo independente = (6, 5).

3 Soluções de um Sistema Linear
Quando um vetor (x1 , . . . , xn ) satisfaz todas as equações de (9), dizemos que (x1 , . . . , xn ) é uma solução do sistema linear. Por exemplo, (1, 1) é uma solução de (1), (2, 2, 2, 2) é uma solução de (5) e (2.4, −1, 3) é