Sistemas lineares

Disponível somente no TrabalhosFeitos
  • Páginas : 22 (5284 palavras )
  • Download(s) : 0
  • Publicado : 1 de junho de 2012
Ler documento completo
Amostra do texto
Resolução de sistemas lineares
J. M. Martínez A. Friedlander

1 Alguns exemplos
Comecemos mostrando alguns exemplos de sistemas lineares:

3x + 2y = 5 x − 2y = −1 0.45x1 − 2x2 + 6x3 − x4 = 10 x2 − x5 = 0 −w + 4α + z = −w + 5β + z = w + 4β + z = −w + 2β + α = w+α+β+z = 4 0.42 0.6 0.7 10

(1) (2)

(3)

0x1 + 0x2 + 0x3 + x4 = 1 x+y+z+w y+z+w z+w w x= x= 6 5 = = = = 8 6 4 2

(4)

(5)(6)

Vemos que um sistema linear consiste em um conjunto de equações, com um conjunto de incógnitas ou variáveis. As variáveis aparecem multiplicadas por um coeciente (que pode ser 1), e o termo variável-coeciente aparece somado a outros termos do mesmo tipo. Por exemplo os seguintes sistemas de equações não são lineares:

x2 + 2y = x−y =

5 0

(7) (8)

xy = 1 x+y = 2

2 Matriz eTermo Independente
Um sistema linear com m equações e n variáveis (x1 , . . . , xn ) pode ser escrito como

a11 x1 + . . . + a1n xn = . . . am1 x1 + . . . + amn xn =
O retángulo de números

b1
(9)

bm



 a11 . . . a1n   . .   . am1 . . . amn
se chama Matriz do Sistema. O vetor (b1 , . . . , bm ), se chama Termo Independente. No sistema (1) temos: Matriz = 3 2 1 −2 e termoindependente = (5, −1). Em (2) : Matriz =

.45 −2 6 0 1 0

−1 0 0 −1

e termo independente = (10, 0). Em (3), ordenando as variáveis na  −1  −1   1   −1 1 forma (w, α, z, β) temos : Matriz =  4 1 0 0 1 5   0 1 4   1 0 2  1 1 1

e termo independente = (4, 0.42, 0.6, 0.7, 10). Em (4), a matriz é: e o termo independente =(1). Em (5): Matriz =

(0 0 0 0)



1  0   0 0

1 10 0
2

1 1 1 0

 1 1   1  1

e termo independente = (8, 6, 4, 2). Em (6) a matriz é

1 1

e termo independente = (6, 5).

3 Soluções de um Sistema Linear
Quando um vetor (x1 , . . . , xn ) satisfaz todas as equações de (9), dizemos que (x1 , . . . , xn ) é uma solução do sistema linear. Por exemplo, (1, 1) é uma solução de (1), (2, 2, 2, 2) é uma solução de (5) e (2.4, −1, 3) éuma solução de

x − 2y + z = 7.4 0x − y + 3z = 10

(10)

Um sistema linear pode não ter nenhuma solução. Esse é o caso do sistema (6). Pode também ter uma única solução, como o sistema (5). E, nalmente, pode ter innitas soluções. Por exemplo, o sistema

x+y =2

(11)

tem como soluções todos os pares (x, y) da forma (x, 2 − x). Ou seja, dando valores arbitrários a x, obtemosdiferentes soluções de (11). Como podemos dar innitos valores arbitrários a x, resulta que (11) tem innitas soluções. Assim, (0, 2), (1, 1), (2, 0), (0.5, 1.5), (−0.3, 2.3), são diferentes soluções de (11). É impossível que um sistema linear tenha um número nito de soluções diferente de 1. Ou seja, um sistema linear não pode ter duas, sete, nem 35 soluções. Se tiver mais de uma, necessariamente teráinnitas. Um sistema com mais equações que incógnitas pode ter uma, innitas ou nenhuma solução, embora este último caso seja o mais frequente em aplicações. Por exemplo, 3x1 − x2 = −9 0x1 + x2 = 6 (12) 5x1 − x2 = −11 −2x1 − x2 = −4 tem a única solução (−1, 6). Mas o sistema,

x + 2y − z 2x + 4y − 2z 3x + 6y − 3z 4x + 8y − 4z

= = = =

1 2 3 4

(13)

3

tem como soluções todos osvetores da forma (x, y, x + 2y − 1). (Conra). E, nalmente, x= 1 x= 3 (14) x= 5 x+y = 6 não tem nenhuma solução. Da mesma maneira, um sistema com o mesmo número de equações e incógnitas pode ter uma, nenhuma ou innitas soluções. Por exemplo,

4x − 2y = 4 x − 3y = 1
tem a única solução (1, 0). Mas

(15)

x−y = 5 x − y = 10
não tem solução. E, nalmente,

(16)

x−y = 5 −x + y = −5

(17)tem innitas soluções. (Todos os pares da forma (x, x − 5)). Finalmente, um sistema com mais incógnitas que equações pode não ter soluções, como x1 + x2 − x3 = 9 (18) 2x1 + 2x2 − 2x3 = 40 ou ter innitas soluções, como

x1 + x2 − x3 = 9 2x1 + 2x2 − 2x3 = 18,

(19)

mas jamais pode ter solução única. O leitor será convencido deste fato mais adiante no texto.

4 Sistemas escalonados
Os...
tracking img