Sistemas Lineares 1

SISTEMAS LINEARES

EQUAÇÕES LINEARES
Observe as equações abaixo:
• 8x – y = 9
 coef.: 8 e -1; inc.: x e y; termo ind.: 9
• 3x + 2y – 5z = 0  coef.: 3,2,-5; inc.: x,y,z; termo ind.: 0
• x + y + 4z – 6w = 3  coef.: 1,1,4,-6; inc.: x,y,z,w; termo ind.: 3
As três equações são chamadas equações lineares pois obedecem ao seguinte formato:

a1 x1  a2 x2  a3 x3  ...  an xn b a1 , a2 , a3 , ..., an são coeficientes x1 , x2 , x3 , ..., xn são incógnitas b é o termo independente

Quando o termo independente é zero
(b=0), a equação é chamada homogênea.

Dizemos que a solução de uma equação linear é a seqüência de valores, que colocados no lugar das incógnitas, tornem verdadeira a igualdade.
• A equação 8x – y = 9 possui como soluções, por exemplo, as seqüências:
(1, -1), pois 8.1– (-1) = 9 e (2,7), pois 8.2 – 7 = 9

De maneira geral, a seqüência (1 ,  2 ,  3 , ... ,  n ) é a a1 x1  a2 x2  a3 x3  ...  an xn b solução da equação
, quando

substituímos cada no lugar das incógnitas e a igualdade fica verdadeira.

EQUAÇÕES LINEARES EQUIVALENTES
Duas equações são chamadas equivalentes quando uma equação é obtida multiplicando os dois membros da outra equação por um número real qualquer. Equações equivalentes admitem as mesmas soluções.
Exemplos:

x + y = 3  Multiplicando os dois membros por 2 

2x + 2y = 6

2x – y + z = 8  Multiplicando os dois membros por -1  -2x + y - z = -8

SISTEMAS LINEARES
Sistemas formados por duas ou mais equações lineares são chamados sistemas lineares.

 2 x  y 10

 x  5 y  3

 x  y  z 21

 2 x  y  3z 50
  x  y  4 z  20


 x y z
 2x  y  z



 
  x  3 y  2 z

 a
 b




 n

Observe a resolução do sistema de duas equações e duas variáveis:  2 x1  x2 10

 x1  x2  4
Pelo método da adição :
 2 x1  x2

 x1  x2

10  2.2  x2 10  x2 6

 4

3 x1  0  6  3x1 6 x1 2

S {( 2,6)}
A seqüência (2,6) satisfaz todas as equações do sistema.

De maneira geral, podemos dizer