Sinais e sistemas

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FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE MONTES CLAROS – FACIT
QUARTO PERÍODO DE ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
DISCIPLINA: SINAIS E SISTEMAS
PROFESSOR: RENATO DOURADO MAIA
EXEMPLOS RESOLVIDOS – FUNDAMENTOS DE SINAIS E SISTEMAS

Exemplo 1: Determine se os sistemas abaixo possuem o seu inverso. Em caso afirmativo, determine o
sistema inverso.
t

(a) y (t ) =

∫ x(τ )dτ

(b) y (t ) =−∞

dx(t )
dt

Solução (a):
t

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo: y (t ) =

∫ x(τ )dτ = X (t ) − X (−∞)

−∞

Derivando os dois lados:

dy (t ) d ( X (t ) − X (−∞))
=
= x(t )
dt
dt

Então, o sistema é invertível.
Solução (b):
Será utilizada a prova pela contrapositiva, isto é, por meio de um contra-exemplo:
Considere y (t ) =

dx(t )
dx(t ) d ( z (t ) + C ) dz (t ), e x(t ) = z (t ) + C . Logo, y (t ) =
=
=
.
dt
dt
dt
dt

O valor da constante C não altera o resultado. Então, o sistema é não invertível.
Exemplo 2: Determine se os sistemas abaixo são estáveis:
(a) y[n] = x[n]

2

(b) y (t ) = sin(2π x(t )) (c) y (t ) =

t



x(τ )dτ (d) y (t ) =

−∞

dx(t )
dt

(e) y[n] =

15
∑ x[n + k ]
11 k =−5

Solução (a):
Definição:x[n] < ∞ ou x[n] < M , onde M é um número real finito. Logo:

y[n] = x[n]2
y[n] = x[n]2
y[n] = x[n]

2

y[n] = M 2
Como M é um número real finito, o sistema é estável.
Sinais e Sistemas – Faculdade de Ciência e Tecnologia de Montes Claros – Renato Dourado Maia

1

Solução (b):
Definição: x[n] < ∞ ou x[n] < M , onde M é um número real finito.
Lembrando: sin(.) < 1 . Logo:
y (t ) =sin(2π x(t ))
y (t ) = sin(2π x(t ))
y (t ) ≤ 1
O sistema é estável.
Solução (c):
Definição: x[n] < ∞ ou x[n] < M , onde M é um número real finito. Logo:
t

∫ x(τ )dτ

y (t ) =

−∞

t

∫ x(τ )dτ

y (t ) =

−∞
t

y (t ) ≤



x(τ ) dτ

−∞
t

y (t ) ≤

∫ Mdτ

−∞

y (t ) ≤ M τ

t
−∞

O valor da integral depende de t, que pode valer ∞, e tem como limiteinferior -∞. Então, o
sistema é instável.
Solução (d):
Definição: x[n] < ∞ ou x[n] < M , onde M é um número real finito.
Será utilizada a prova pela contrapositiva, isto é, por meio de um contra-exemplo:
Considere x(t ) como um degrau unitário. x(t ) é limitado, pois x(t ) < 1 . A derivada de x(t ) é o
impulso unitário, que tem amplitude infinita. Assim, o sistema é instável.

Sinais e Sistemas– Faculdade de Ciência e Tecnologia de Montes Claros – Renato Dourado Maia

2

Solução (e):
Definição: x[n] < ∞ ou x[n] < M , onde M é um número real finito. Logo:

y[n] =

15
∑ x[n + k ]
11 k =−5
15
∑ x[n + k ]
11 k =−5

y[n] =

15
∑ x[n + k ]
11 k =−5
15
y[n] ≤ ∑ M
11 k =−5
y[n] ≤

y[n] ≤ M
Como M é um número real finito, o sistema é estável.
Exemplo 3: Determine seos sistemas abaixo são invariantes no tempo:
(a) y[n] = x[n]2 (b) y (t ) = x(2t ) (c) y (t ) = x(t 3) (d) y (t ) = x(2 − t ) (e) y[n] = x[− n]
t

(f) y (t ) =

∫ x(τ )dτ

−∞

Solução – Idéia Básica:

y (t ) t −t = y (t ) x (t −t

0)

0

y[n] n − n = y[n] x[ n − n ]
0

0

Solução (a):
Teste da invariância temporal:
y[n] n − n = x[n − n0 ]2
0

y[n] x[ n − n ] = x[n − n0]2
0

Portanto, o sistema é invariante no tempo.
Solução (b):
Teste da invariância temporal:

y (t ) t −t = x(2(t − t0 ))
0

y (t ) x (t −t ) = x(2t − t0 )
0

Portanto, o sistema é variante no tempo.
Sinais e Sistemas – Faculdade de Ciência e Tecnologia de Montes Claros – Renato Dourado Maia

3

Obs.: Repare que no caso y (t ) x (t −t ) , substitui-se t por t no sinal x(.) , e,depois, adiciona-se o
0

atraso t0 .

1 - 2 ≤ t ≤ 2
Supondo t0 = 2 e x(t ) = 
.
0 caso contrário
2t − 4 = −2 → 2t = 2 → t = 1
y (t ) t −t = x(2t − 4) . Para os pontos -2 e 2, tem-se: 
0
2t − 4 = 2 → 2t = 6 → t = 3
2t − 2 = −2 → 2t = 0 → t = 0
y (t ) x (t −t ) = x(2t − 2) . Para os pontos -2 e 2, tem-se: 
0
2t − 2 = 2 → 2t = 4 → t = 2

Solução (c):
Teste da invariância...
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