Simulado algebra linear iii

Simulado 2 de Algebra Linear III

(1) Seja X o plano x + y − z = 0 em R3 . (a) Prove que X ´ um espa¸o vetorial de dimens˜o 2, mostrando que β = {(1, 0, 1), (0, 1, 1)} e c a ´ uma base para X. e (b) Escreva os pontos P1 = (2, 1, 3) e P2 = (−1, −1, −2) na base β. (c) Mostre que β = {P1 , P2 } ´ outra base para X. e (d) Escreva o ponto P = (−3, 4, 1) na base β . (e) Se · , · : X × X → R ´ o produto escalar de R3 restrito a X, determine a e representa¸˜o de · , · nas bases β e β . ca (f) Obtenha uma base para X que seja ortonormal com respeito ao produto interno ·, · . (g) Se S+ (2, R) = {A ∈ M (2, R) : AT = A} ´ o espa¸o vetorial das matrizes sim´tricas e c e 2 × 2, prove que dim T0 (2, R) = 3 mostrando que γ= ´ uma base para S+ (2, R). e (h) Prove que a aplica¸˜o T : S+ (2, R) → X dada por ca T a b b c = (a + 2b, c − b, a + b + c) 1 0 , 0 0 0 1 , 1 0 0 0 0 1

´ uma transforma¸˜o linear. e ca (i) T ´ injetiva? T ´ sobrejetiva? e e (j) Prove que γ = ´ outra base para S+ (2, R). e (k) Determine a matriz que representa a transforma¸˜o linear T da base γ para a ca base β . 1 1 , 1 −1 −1 1 , 1 1 −1 −1 −1 −1

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