Simplex method

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PESQUISA OPERACIONAL I
TP052

CURITIBA, MARÇO DE 2012

Estas notas de aula foram feitas para compilar o conteúdo de várias referências bibliográficas tendo em vista o conteúdo programático da disciplina de Pesquisa Operacional I-TP052 da UFPR a nível de Graduação. Em particular, elas não substituem a consulta a livros textos e artigos. Seu principal objetivo é dispensar a necessidade dosalunos terem que copiar as aulas e, deste modo, poderem se concentrar em entender o conteúdo das mesmas.

Prof. Volmir Wilhelm

UFPR

TP052 – Pesquisa Operacional

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1 – EMENTA
Revisão de Álgebra Linear. Método Simplex. Problema da Designação. Modelos de Programação Linear. Problema do Transporte. Dualidade. Análise de Pós-Otimização.

2 – MOTIVAÇÃO
1) Dada a receita R(x) = -2x2 +10x, obtenha o valor de x que a maximiza. x = 5/2 2) Um fabricante produz dois tipos de liga nas quantidades de x e y toneladas, respectivamente. Se 2 2 o custo total da produção é expresso pela função C x, y   x  100 x  y  xy e a renda total é
2 dada pela função Rx, y   100 x  x  2000 y  xy , encontre o nível de produção que maximiza o lucro. L(x,y) = R(x,y) – C(x,y)

3) Ache omáximo e o mínimo de f( x, y) = 5x - 3y sujeito a limitação (restrição) x2 + y2 =136.

4) (Erico Fagundes Anicet Lisboa, http://www.ericolisboa.eng.br) “Uma empresa de comida canina produz dois tipos de rações: Tobi e Rex. Para a manufatura das rações são utilizados cereais e carne. Sabe-se que:  o pacote de ração Tobi é vendido por $ 20 e o pacote de ração Rex por $ 30;  a ração Tobi utiliza 5 kgde cereais e 1 kg de carne, e a ração Rex utiliza 4 kg de carne e 2 kg de cereais;  o kg de carne custa $ 4 e o kg de cereais custa $ 1;  estão disponíveis por mês 10 000 kg de carne e 30 000 kg de cereais. Deseja-se saber qual a quantidade de cada ração a produzir de modo a maximizar o lucro."

max (max) Z  c1 x1  s.a a11 x1  ... a m1 x1  x1  0

...  ...  ... ...  ...

cn xn a1n xn  b1 ... ... (aspecto geral de um pl) a mn x n  bm xn  0

Prof. Volmir Wilhelm

UFPR

TP052 – Pesquisa Operacional

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3 – FORMULAÇÃO
Pesquisa Operacional foi a denominação dada ao conjunto de processos e métodos de análise desenvolvidos por grupos acadêmicos que assessoravam as forças militares durante a 2 ª guerra mundial. (logística, canhões antiaéreos, bombardeio a submarinos,...) O marco definitivo na afirmação da pesquisa operacional foi a publicação por G. Dantzig em 19047 do método simplex para a programação linear.

Modelos
É uma idealização, ou uma versão simplificada da realidade. A partir dessa idealização, o modelo emprega símbolos matemáticos para representar as variáveis de decisão do sistema real. Essas variáveis são relacionadas por funções matemáticasque expressam o funcionamento do sistema. A solução consiste em encontrar valores adequados das variáveis de decisão que otimizem o desempenho do sistema, segundo o critério desejado. (simplificação do sistema)

Modelos de programação linear
Os modelos de programação linear têm as seguintes características: a) Variáveis: são as variáveis de decisão não negativas do modelo. b) Restrições: é oconjunto de equações e inequações lineares que expressam as relações e interdependências entre as variáveis de decisão. c) Função objetivo: é uma função linear que constitui um critério de escolha do valor das variáveis de decisão. A função objetivo deve ser minimizada ou maximizada O aspecto de um modelo geral de programação linear é max Z  c1 x1  ...  s.a a11 x1  ...  ... ... a m1 x1  ... x1  0 ... Em notação matricial pode-se escrever

cn xn a1n x n  b1 ... ... a mn x n  bm xn  0

max Z  cx s.a Ax  b x0
Exemplo 1: Suponhamos que uma empresa fabrica 2 produtos (1 e 2) e consegue vender toda a produção. Cada produto requer certo tempo de produção nos três departamentos de fabricação. Atualmente cada departamento tem uma quantidade fixa de homens-hora disponível por...
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