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EA-721 : PRINC´ IPIOS DE CONTROLE E SERVOMECANISMO
Segunda Lista de Exerc´ ıcios Jos´ C. Geromel e Rubens H. Korogui e

Exerc´ ıcio 1 Considere o sistema de controle representado na Figura 1. Estude sua estabilidade em fun¸˜o do ganho κ ∈ R, utilizando o crit´rio de Routh e em seguida o crit´rio de ca e e Nyquist considerando as seguintes fun¸˜es de transferˆncia: co e

r + ˆ −

κ

G(s)y ˆ

H(s)

Figura 1: Sistema em malha fechada.
(s + 5)(s + 7) ; H(s) = 1 (s + 1)(s + 3) s2 + 6s + 25 ; H(s) = 1 s(s2 + 2s + 5) s+3 1 ; H(s) = s(s2 + 4s + 5) s+1 1 s+2 ; H(s) = s(s2 + 2s + 10) s+8

a) G(s) = b) G(s) =

c) G(s) = d) G(s) =

Exerc´ ıcio 2 Considere o sistema de controle com realimenta¸˜o unit´ria representado na ca a
Figura 2. Estude sua estabilidade em fun¸˜o do ganhoκ ∈ R atrav´s dos crit´rios de Routh e ca e e de Nyquist considerando as seguintes fun¸˜es de transferˆncia: co e y ˆ

r + ˆ −

κ

G(s)

Figura 2: Realimenta¸˜o unit´ria. ca a

1

EA-721 : Segunda Lista de Exerc´ ıcios
s+2 s + 10 1 (s + 10)(s + 2)2 (s + 1)(s + 10) (s + 100)(s + 2)3 s+1 s2 (s + 10) s+1 s(s + 2) 1 (s + 2)(s2 + 9) (1 + 10s) (1 + 20s)2 (1 + 5s)(1 + s)

a) G(s) = b)G(s) = c) G(s) = d) G(s) = e) G(s) =

f ) G(s) = g) G(s) = h) G(s) =

s−1 s2 (s + 1) s i) G(s) = (s + 2)(s + 10) j) G(s) = s(s − 1) (s + 2)(s + 10)

Exerc´ ıcio 3 Considere as equa¸˜es caracter´sticas de sistemas dinˆmicos a tempo cont´nuo co ı a ı dadas a seguir. Determine no plano real κ × λ seus respectivos dom´nios de estabilidade. ı
a) s2 (s + 1)(s + 0, 5) + κ(s + λ) = 0 b) s4 + 2s3 +κs2 + λs + κ = 0

Exerc´ ıcio 4 Considere o diagrama de blocos da Figura 3, onde κ e λ s˜o parˆmetros reais. a a

r + ˆ −

κ s+λ

1 2 + 2s + 2 s

y ˆ

Figura 3: Realimenta¸˜o unit´ria com dois graus de liberdade. ca a
a) Determine no plano κ × λ a regi˜o de estabilidade para o sistema em malha fechada. a b) Para λ = 0 aplique o crit´rio de Nyquist e determine todos os valores de κ ∈ Rpara os e quais o sistema em malha fechada seja est´vel. a

Exerc´ ıcio 5 Determine o n´mero de ra´zes da equa¸˜o s4 + 6s3 + 10s2 − 2s − 15 = 0 que u ı ca
est˜o localizadas no semiplano complexo definido por Re{s} < −1. a

Exerc´ ıcio 6 Supondo que a equa¸˜o alg´brica ca e
s(s + 1)(s + 2) + α + 1 α =0

represente a equa¸˜o caracter´stica de um sistema a tempo cont´nuo, determine todos osvalores ca ı ı de α > 0 tais que as suas ra´zes sejam assintoticamente est´veis. ı a

2

EA-721 : Segunda Lista de Exerc´ ıcios

Exerc´ ıcio 7 Considere o sistema de controle a tempo discreto representado na Figura 4.
Determine os valores de κ tais que o sistema em malha fechada seja est´vel, para as seguintes a fun¸˜es de transferˆncia e respectivos per´odos de amostragem T dados a seguir. coe ı y ˆ − T SOZ κ G(s)

r + ˆ

Figura 4: Realimenta¸˜o unit´ria em sistemas a tempo discreto. ca a
a) G(s) = b) G(s) = 1 , T = 0,1 [s] e T = 0,5 [s] s(s + 1) 10 , T = 0,01 [s] e T = 0,1 [s] s2 + 2s + 5

Exerc´ ıcio 8 Para cada uma das fun¸˜es de transferˆncia, no contexto de sistemas a tempo co e
cont´nuo, dadas a seguir, obtenha sua representa¸˜o de estado e, aplicando o crit´rio de Lyaıca e punov, conclua sobre sua estabilidade. a) G(s) = s2 10 + 7s + 10 b) G(s) = 10(s + 1) s3 + 2s2 + 3s + 7

Exerc´ ıcio 9 Para cada uma das fun¸˜es de transferˆncia, no contexto de sistemas a tempo co e
discreto, dadas a seguir, obtenha sua representa¸˜o de estado e aplique o crit´rio de Lyapunov ca e para concluir sobre sua estabilidade. a) G(z) = z − 0,5 z 2 − z + 0,26 b) G(z) = z+1 z 2 − z+ 1,06

Exerc´ ıcio 10 Considerando a equa¸˜o caracter´stica 1 + κG(s) = 0, esboce no plano comca ı
plexo o lugar das suas ra´zes, em fun¸˜o do ganho κ ∈ [0, +∞), para as fun¸˜es de transı ca co ferˆncia definidas a seguir. Utilize todas as regras poss´veis. e ı a) G(s) = 1 (s + 1)(s + 5) s2 + 8s + 20 (s + 2)(s2 + 4s + 7) 10(s − 1) s(s2 + 4s + 4) 1 (s + 5)(s2 + 2s + 2) e) G(s) = s+2 (s +...
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