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Representação de Modelos de Sistemas Dinâmicos: Espaço de Estados

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Representação De Modelos de Sistemas Dinâmicos:
- Espaço de Estados

1 INTRODUÇÃO
Conforme já foi mencionado, o modelo matemático de um sistema dinâmico é obtido a partir da aplicação de Leis Físicas e de Equações Constitutivas dos elementos que compõem o sistema, o que conduz, normalmente, a um sistema deequações diferenciais e/ou equações algébricas. Tal sistema de equações, usualmente, é representado de três maneiras: (1) Representação no Espaço de Estados (2) Representação por Equação I/O (Input/Output = Entrada/Saída) (3) Representação por Matriz de Transferência Na aula de hoje veremos o primeiro tipo de representação.

2 REPRESENTAÇÃO NO ESPAÇO DE ESTADOS
É um enfoque mais moderno, que repousasobre o conceito de Variáveis de Estado. Nesta representação, um modelo matemático descrito por uma equação diferencial de ordem n é substituído por um sistema de n equações diferenciais, todas de 1a ordem. Se o modelo matemático for descrito por m equações diferenciais de ordem n, então ele será substituído por um sistema de m x n equações diferenciais de 1a ordem. A representação no espaço deestados é particularmente útil na análise e no projeto de sistemas de controle. Ela possui as seguintes características: Usa o domínio do tempo Quaisquer condições iniciais Aplicabilidade mais ampla: sistemas sistemas sistemas Interpretação física mais abstrata

lineares e não-lineares invariantes no tempo e variantes notempo SISO (Single Input, Single Output) e MIMO (Multiple Inputs, MultipleOutputs)

Representação de Modelos de Sistemas Dinâmicos: Espaço de Estados

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A seguir, apresentaremos os fundamentos do método a partir de exemplos simples. Exemplo 1: Representação de um sistema mecânico de 2a ordem com um grau de liberdade, sendo a entrada u(t), que é a força externa aplicada sobre a massa m, e a saída y(t), que é o deslocamento medido a partir da posição de equilíbrioestático. Modelo matemático: dado pela EDOL m y + c y + ky = u(t) Duas questões aparecem: Q1 Quantas variáveis de estado são necessárias?
.. .

A quantidade de variáveis de estado é igual à quantidade de condições iniciais. Como o sistema é de 2a ordem, ele possui duas condições iniciais, logo necessita de duas variáveis de estado para descrever completamente a dinâmica do sistema. Q2 Quais são asvariáveis de estado do problema? São as correspondentes às condições iniciais do problema. No caso, as variáveis de estado são então, o deslocamento y(t) e a velocidade y(t) . Obs.: é importante não confundir variável de estado (ente matemático) com variável física. Por exemplo, consideremos um sistema dinâmico descrito pelo sistema de equações diferenciais abaixo, onde x1, x2 e suas derivadas sãovariáveis físicas: x 1 + x 1 + x1 − x2 = 0 x 2 − 2x1 + x2 = 0 Nesse caso, existem 3 variáveis de estado: duas para a coordenada x1 e uma para a coordenada x2: x 1 = x1 deslocamento (físico) x 2 = x2 deslocamento (físico)
. .. .
.

variável de estado (matemática)

x3 = x 1 velocidade (física)

.

variável de estado (matemática)

variável de estado (matemática)

Voltemos ao exemplo 1.As variáveis de estado serão x1 e x2: x1 = y Derivando, obtemos:

x2 = y

.

Representação de Modelos de Sistemas Dinâmicos: Espaço de Estados

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x1 = y x2 =
. . 1 1 ( −ky − c y) + u m m

.

.

Vemos que a primeira equação não depende da dinâmica do sistema, enquanto que a segunda depende. Em termos de variáveis de estado:
x 1 = x2 x2 = −
. .

k c 1 x1 − x2 + u m m m

quesão as equações de estado. Sob forma matricial:

.   0  x1  =  k . x 2   − m   
A equação de saída, y = x1, pode ser escrita

1 x   0  c 1 1 −  x2  +  u m   m 

 x1  y = [y ] = [1 0 ]  x2  Essas duas últimas equações matriciais são, respectivamente, a equação de estado e a equação de saída. Em forma padrão:

x = Ax + Bu y = Cx + Du
onde  x1  x=...
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