Sensores - Resolvendo Problema Futebol

1 a Prova de C´lculo III – 06/11/2013 – Turma a MATR´
ICULA:

NOME:

Aten¸ao: Justifique todas as suas respostas de maneira leg´ c˜ ıvel.

Q1

Q2

Q3

√

1
2

1. (25 pts) Considere a integral I =

Q4

NOTA

√
3y

1−y 2

1

f (x, y) dxdy +

0

f (x, y)dxdy.
1
2

0

0

(a) (15 pts) Reescreva a integral I como uma unica integral iterada.
´
(b) (10 pts) Reescreva I utilizando coordenadas polares.

Solu¸˜o: ca (a) A regi˜o de integra¸˜o R ´ a regi˜o no primeiro quadrante limitada pela circunfˆrencia a ca e a e √ x2 + y 2 = 1 e pelas retas x = 0 e x = 3y e pode ser representada por:
√

3 1
2 ,2

R

√
3
2

Neste caso, invertendo a ordem de integra¸˜o obtemos: I = ca √

0

(b) Em coordenadas polares, temos que:
– A circunferˆncia x2 + y 2 = 1 ´ dada por r = 1. e e
– A reta x = 0 ´ dada por r = 0 ou θ = π . e 2
√

– A reta y =

3
3 x

´ dada por θ = π . e 6

Portanto, a regi˜o R em coordenadas polares ´ dada por: a e
R = {(r, θ) : 0 ≤ r ≤ 1,

π π ≤ θ ≤ }.
6
2

E a integral escrita em coordenadas polares ´ dada por: e π
2

I= π 6

1

f (r cos θ, r sin θ)r drdθ.
0

√

1−x2

3 x 3

f (x, y) dydx.

2. (25 pts) Calcule a integral
I=
T

2xz dV, + y2

x2

onde T ´ a regi˜o contida no primeiro octante interior `s superf´ e a a ıcies x2 + y 2 + z 2 = 4 e x2 + y 2 = 2y.

Solu¸˜o: ca Por conta do cilindro x2 + y 2 = 2y, sugere-se a mudan¸a de vari´veis por coordenadas c a cil´ ındricas.
Em coordenadas cil´ ındricas, temos que:
• O primeiro octante ´ dado por 0 ≤ θ ≤ e π
.
2

• A esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 ´ dada por r2 + z 2 = 4. e • O cilindro x2 + y 2 = 2y ´ dado por r = 0 ou r = 2 cos θ, 0 ≤ θ ≤ π. e z

y
2
x
A regi˜o T em coordenadas cil´ a ındricas ´ dada por: e 4 − r2 , 0 ≤ r ≤ 2 sin θ , 0 ≤ θ ≤

Tcil = {(r, θ, z) : 0 ≤ z ≤
Neste caso, a integral I ´ dada por: e π
2

I =
0

0 π 2

=
0