secções conicas

As secções cónicas começaram a ser estudadas no século III a.C., na Grécia Antiga. O seu interesse inicial residia no contributo que a sua utilização poderia dar para a resolução dos três problemas clássicos: trissectar um ângulo, quadrar um círculo e duplicar um cubo. Euclides escreveu um tratado sobre as cónicas, que se perdeu. A Apolónio (262?-190 a.C.), matemático grego, devem-se os nomes que ainda hoje utilizamos para a elipse, a hipérbole e a parábola.

Os desenvolvimentos à volta das secções cónicas efectuados nessa altura vieram a estar na base da formulação de várias teorias sobre curvas no séc. XVII. Por exemplo, Kepler usou a elipse para descrever as trajectórias dos planetas e Galileu a parábola para representar o movimento de projecteis na terra.

Uma secção cónica é uma curva que resulta da intersecção entre um plano e uma superfície cónica assente numa base circular, que se estende indefinidamente através do seu vértice em ambas as direcções.

Existem cinco tipos possíveis de secções cónicas: a elipse; a hipérbole; a parábola; a circunferência; e um par de rectas concorrentes. Estes dois últimos são casos particulares da elipse e da hipérbole, respectivamente.

Vejamos então as características dos cortes que dão origem a cada um dos tipos de secções cónicas. A elipse, a parábola e a hipérbole são obtidas como secções de um plano que respectivamente corta todas a geratrizes da superfície cónica, é paralelo a uma geratriz da superfície cónica e é paralelo a duas geratrizes da superfície cónica.

Para se perceber melhor como se obtêm as secções cónicas atente-se na figura que se segue.

Elipse e Circunferência

Hipérbole

Parábola

Questão: Como deve um plano intersectar uma superfície cónica para que se obtenha uma linha recta, duas rectas concorrentes ou um ponto?

As definições de cada uma destas curvas podem ser enunciadas como se segue.

Elipse: Lugar geométrico dos pontos, no plano, tais que é constante a soma das