Sólidos platônicos

Páginas: 7 (1593 palavras) Publicado: 25 de junho de 2011
UMA BREVE HISTÓRIA

← Platão em 400 a.C.,foi o primeiro matemático a demonstrar que existem apenas cinco poliedros regulares: o cubo, o tetraedro o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro. A eles se referiu no seu diálogo "Timeu" pelo que esses cinco poliedros regulares passaram a ser designados por sólidos platónicos.

← O conhecimento destes sólidos parece ter sido desencadeado numencontro com Arquitas que, em viagem à Cecília, no sul de Itália, encontraria Platão. Para este, o Universo era formado por um corpo e uma alma, ou inteligência. Na matéria havia porções limitadas por triângulos ou quadrados, formando-se elementos que diferiam entre si pela natureza da forma das suas superfícies periféricas.

I. Se fossem quadradas, teríamos o cubo - elemento terra.II. Se fossem triângulos equiláteros, teríamos

o tetraedro - o elemento fogo.

o octaedro, - o elemento ar.

o icosaedro - o elemento água.

III. Se fossem pentágonos, teríamos

o dodecaedro - simbolizava o Universo.

← Embora chamados Platónicos, Proclus atribuiu a construção destes poliedros a Pitágoras, supondo-se que é também a ele que se deve o teorema: Hásomente cinco poliedros regulares. Hoje sabe-se que o teorema só é verdadeiro para os poliedros regulares convexos.  

← Os egípcios também já utilizaram alguns deles na arquitetura e noutros objetos que construíram. Estes sólidos foram adquirindo ao longo dos tempos diversos significados místicos. Alguns séculos mais tarde, em 1597 Kepler, que sentia uma grande admiração e reverência por eles(Porquê apenas cinco?), inspira-se nos poliedros regulares para estudar o movimento dos seis planetas até então conhecidos (Saturno, Júpiter, Marte, Terra, Venus e Mercúrio) e publica a sua obra "The Cosmographic Mystery", onde utiliza um modelo do sistema solar composto por esferas concêntricas, separadas umas das outras por um cubo, um tetraedro, um dodecaedro, um octaedro e um icosaedro paraexplicar as distâncias relativas dos planetas ao sol.

← É também Kepler, que vai descobrir o primeiro poliedro regular côncavo, que é o dodecaedro estrelado, de faces regulares que resulta do prolongamento das faces do dodecaedro.

POLIEDROS

Poliedros (poli = muitos; hedros = faces) são sólidos delimitados por regiões planas (polígonos) que constituem as denominadasfaces (são as figuras planas que o limitam). Os segmentos de reta que limitam as faces designam-se por arestas e os pontos de encontro destas por vértices.

Os poliedros podem ser Convexos ou Côncavos. São convexos quando se encontram todos para o mesmo lado em relação ao plano de qualquer uma das suas faces, ou seja, quando as suas faces deixam sempre as demais no mesmo semi-espaço.Caso contrário, os poliedros dizem-se côncavos. Kepler descobriu dois poliedros que são simultaneamente regulares e não convexos - o pequeno dodecaedro estrelado e o grande dodecaedro estrelado. Mais tarde, foi provado que existem apenas nove poliedros regulares, sendo cinco convexos (sólidos platônicos) e quatro não convexos (sólidos de Kepler-Poinsot). Exemplo de um poliedro côncavo:Uma relação válida para todos os poliedros, é a Relação de Euler, descoberta pelo matemático suíço Euler:

n.º faces + n.º vértices = n.º arestas + 2

Em alguns poliedros, todas as faces são polígonos regulares geometricamente iguais e em cada um dos seus vértices encontra-se o mesmo número de arestas. A estes poliedros chamamos Poliedros Regulares. Estes são tambémconhecidos por Sólidos Platónicos.

Os sólidos podem apresentar regularidades (propriedades que se mantêm constantes entre os seus elementos) e irregularidades. As regularidades que se encontram são as de que todas as faces e todas as arestas são congruentes (geometricamente iguais). Nas irregularidades temos que o número de faces ou de arestas concorrentes em cada vértice não é...
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