Séries e suas propriedades

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MATO GROSSO
Campus Universitário Deputado René Barbour
Departamento de Ciência da Computação

DIEGO VINICIUS BERIGO

SÉRIES E SUAS PROPRIEDADES

BARRA DO BUGRES
2012
DIEGO VINICIUS BERIGO

SÉRIES E SUAS PROPRIEDADES

Trabalho desenvolvido durante a disciplina de Calculo II, com parte da avaliação referente ao 3º semestreProfessor: Jonhy Syllas Dos Santos Ferreira



BARRA DO BUGRES
2012
Sumário

-- Introdução 04

Capítulo 1
Séries
1.1 Séries Alternadas 05
1.2 Convergência Absoluta e Condicional 07
1.3 Teste da Razão 09
1.4 Teste da Raiz 10
1.5 Séries de Potências 11
1.6 Série de Taylor 13
1.7 Série Binomial 16-- Conclusão 19
-- Referências Bibliográfica 20

















Introdução
O presente trabalho visa atender a disciplina de Calculo II e como vimos, precisamos estudar as Series e suas Propriedades. O mesmo foi elaborado após consultas e pesquisas a diferentes autores, porém, tendo sempre em vista o roteiro estabelecido, Contém assim, oessencial para o conhecimento sobre um dos aspectos sobre Séries Alternadas, Convergência Absoluta e Condicional, Teste da Razão, Teste da Raiz, Séries de Potências, Série de Taylor, Série Binomial. Onde iremos apresentar uma explicação e um exemplo de cada tema abordado.

























Série Alternada
Uma série alternada é uma sériecujos termos são alternadamente positivos e negativos. Aqui estão dois exemplos:

Definição:
Se an > 0 para todo n inteiro positivo, então a série
n=1∞-1n+1 an=a1-a2+a3-a4+ …+-1n+1 an+ …
e a série
n=1∞-1n an=-a1+a2-a3+a4- … +-1n an+ …
são chamadas de séries alternadas

O teorema a seguir fornece uma teste de convergência para uma série alternada. Ele é chamado de teste deséries alternadas, também é conhecido como teste de Leibniz.

TEOREMA
Teste de Série Alternadas
Considere a série alternada n=1+∞-1n+1 an[ou n=1∞-1nan] onde an > 0 e an+1<an para todo n inteiro positivo. Se limn→+∞an=0, a série altera converge.

Definição:
Se uma série infinita for convergente e sua forma S, então o resto obtido quando aproximamos a soma da série pela k-ésimasoma parcial Sk será denotado por Rk e Rk=S-Sk

TEOREMA
Considere a série alternada n=1+∞-1n+1 an[ou n=1∞-1nan] onde an > 0 e an+1<an para todo n inteiro positivo. Se limn→+∞an=0. Então se Rk for o resto obtido quando aproximamos a soma da série pela somados k primeiros termos, Rk<ak+1



















Convergência Absoluta e CondicionalDefinição:
Dizemos que a série infinita n=1+∞ Un sera absolutamente convergente se a série n=1+∞ |Un| for convergente.

Ilustração 1: Considere a série
n=1+∞-1n+123n=23-232+233-234+ … +-1n+123n+ … (1)
Essa série será absolutamente convergente se a série

n=1+∞23n=23+232+233+234+ … +23n+ …for convergente. Como se trata de uma série geométrica com r= 13<1, ela será convergente. Logo, a série (1) é absolutamente convergente.

Ilustração 2: Uma série convergente que não é absolutamente convergente é, por exemplo.
n=1+∞(-1)n+1n
A série não é absolutamente convergente, pois a série dos valores absolutos é a série harmônica, que é divergente.

Definição:
Uma sérieque é convergente, mas não absolutamente convergente, é denominada condicionalmente convergente.
Então, é possível que uma série seja convergente, mas não absolutamente convergente. Por outro lado, se uma série for absolutamente convergente. ela devera ser convergente.

TEOREMA
Se a série infinita n=1+∞un for absolutamente convergente, ela sera convergente e n=1+∞un≤n=1+∞|un|...
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