Séries numéricas e séries de funções

Disponível somente no TrabalhosFeitos
  • Páginas : 9 (2005 palavras )
  • Download(s) : 0
  • Publicado : 21 de março de 2011
Ler documento completo
Amostra do texto
Introdução

O objectivo deste trabalho surge no âmbito da disciplina de Matemática I e visa apresentar dois temas gerais que passo a citar: “Séries numéricas” e “Séries de Funções”.
Tentámos procurar definições e casos susceptíveis das mesmas, entre elas, Séries Geométricas e Séries de Dirichlet, algumas das suas propriedades, critérios de termo geral paradivergência, séries de termo não negativos, e séries absolutamente/simplesmente convergentes.
No que toca ao segundo tema (Séries de Funções), procurámos exemplos de Séries de Potências, Taylor e de MacLaurin.














1.Séries Numéricas

Qualquer expressão do tipo n=1∞Un = U1 + U2 + … + Un + … , denomina-se uma série numérica ousérie de números reais, sendo Un o termo geral da sucessão. Chama-se sucessão de somas parciais ou sucessão associada da série n=1∞Un à sucessão (Sn)n IN de termo geral Sn = U1 + U2 + … + Un = i=1nUi

Uma série numérica é dita convergente se e só se existir um limite real da sucessão ou seja:
Se lim (n→+∞) Sn = k, kIR diz-se que a série n=1∞Un é convergente e escreve-se n=1∞Un =S.

Assim uma série numérica é convergente se e só se a sucessão associada é convergente. A soma de uma série convergente n=1∞An é o limite da sucessão associada.
Uma série que não é convergente diz-se divergente, e sabemos que esta não tem soma. Diremos ainda que uma série divergente cuja sucessão associada tem limite +∞ ou -∞ tem soma igual a +∞ ou -∞, respectivamente.1.1 Séries Geométricas
Chamamos série geométrica à série n=1∞An em que An+1 = rAn , n IN sendo r uma constante que se designa por razão da série. A série pode escrever-se na forma n=1∞ar(n-1) onde a é uma constante e o 1º termo da série.
A série n=1∞ar(n-1) , com a≠0, é divergente se e só se |r|≥1;
A série n=1∞ar(n-1) , com a≠0, é convergente se e só se |r|<1 e nestecaso n=1∞ar(n-1) = a/1-r.

1.2 Séries de Dirichlet
Chamamos série de Dirichlet de ordem p à série definida por n=1∞1/n^p, com p>0. Para p=1 a série é designada por série Harmónica.
Esta série de Dirichlet é convergente para p> 1 e divergente para p≤ 1.

Algumas Propriedades:
* Se n=1∞An e n=1∞Un são duas séries convergentes, então a sua soma/diferença resultanuma sucessão convergente.
* Se n=1∞An é convergente e c uma constante, então n=1∞cAn = cn=1∞An também é convergente.
* Se n=1∞An é convergente e n=1∞Un é divergente, então a sua soma/diferença resulta numa série Divergente.
* Para todo c IN, a série n=1∞An converge se e só se n=c∞An converge.

Critério de termo geral para divergência:
Este teorema diz que se a série n=1∞An éconvergente, então lim (n→+∞) An = 0

Teste da divergência:
Este teste diz-nos que se lim (n→+∞) An não existe ou é diferente de zero então a série numérica n=1∞An é divergente. Ainda assim caso o lim (n→+∞) = 0, não significa que a série seja convergente.

1.3 Séries de termos não negativos

Definição: Uma série n=1∞Un diz-se de termos não negativos se Un ≥0, para qualquer n IN.Critério de Cauchy ou da raíz:
Se Un ≥ 0 e lim (n→+∞) = L IR então:

* Se L< 1, então a série n=1∞Un é convergente;
* Se L> 1, então a série n=1∞Un é divergente;
* Se L= 1, nada se conclui.

Critério de D’Alembert ou da razão:

Se Un >0 e se lim (n→+∞) an+1/an = L IR então:

* Se L< 1, então a série n=1∞Un é convergente;
* Se L> 1, então a sérien=1∞Un é divergente;
* Se L= 1, nada se conclui.

1.4 Séries Alternadas

Chama-se série alternada à série em que dois termos consecutivos têm sinais opostos, ou seja, é da forma n=1∞-1nan ou n=1∞-1n+1an , an > 0.

1.5 Séries simplesmente convergentes e absolutamente convergentes

Uma série numérica convergente mas que a sua série dos módulos seja divergente diz-se...
tracking img