Séries de potência e equações diferenciais

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Grupo de Ensino e Pesquisa em Educação Matemática Notas de Aula No 7

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Christian Q. Pinedo

ii

Séries de Potências e Equações Diferenciais

A meus pais Christian (em memória) e. Noemi.

iii

iv

Séries de Potências e Equações Diferenciais

Título do original Séries de Potências e Equações Diferenciais

Janeiro de 2011

Direitos exclusivos para língua portuguesa:UFT - CAMPUS DE PALMAS

Coordenação de Engenharia Civil/Elétrica Pinedo. Christian Quintana, 1954 Séries de Potências e Equações Diferenciais / Christian José Quintana Pinedo : Universidade Federal do Tocantins. Campus de Palmas, Curso de Engenharia Civil/Elétrica, 2009. 250 p. il. 297mm I. Série de Potencias e Equações Diferenciais. Christian Q. Pinedo. II. Série. III. Título CDD 512.8 ed. CDU512.8

SUMÁRIO
PREFÁCIO 1 Série de potências 1.1 Séries de números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 1.1.2 1.2.1 xi 1 2

Critérios de convergência das séries numéricas . . . . . . . . . . . . 10 Sumário dos Critérios para Séries de Números. . . . . . . . . . . . . 15 Raio de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2Séries de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Exercícios 1-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3 Desenvolvimento em séries de potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.3.1 1.4.1 1.5.1 1.5.2 1.5.3 A função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 A série binomial . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Série de Taylor associada a uma função . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Polinômio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Convergência da série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.4 Operações com série de potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.5 Série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Exercícios 1-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.6 Fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.6.1 1.6.2 Resto de um Polinômio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Combinando Séries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1.7 Lista de sériede Taylor de algumas funções comuns . . . . . . . . . . . . . 59 1.8 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1.8.1 1.8.2 1.8.3 1.9.1 Cálculo de limites e integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Estudo de Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Outra definição para a derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63 Para duas variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1.9 Série de Taylor em várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Exercícios 1-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 v

vi 2 Equações diferenciais de 1a ordem.

Séries de Potências e Equações Diferenciais 71

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.2 Equações diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.4.1 2.4.2 Classificação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Ordem e grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Problemas que conduzem a uma equaçãodiferencial . . . . . . . . . 76 Equações diferenciais lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Solução Geral. Solução Particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Solução Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Problemas de valores iniciais . . . . . . . . . . . . . . . ....
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