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CÁLCULO DIFERENCIAL INTEGRAL II

































De forma geral, problemas de otimização restrita podem ser muito complexos, não havendo um método geral para encontrar a solução de todas as classes de problemas. Em algumas situações simples, podemos resolvê-los explicitando uma variável em função das outras, na restrição, substituindo na função objetivo e resolvendo oproblema de otimização irrestrita resultante. O método dos multiplicadores de Lagrange permite analisar situações mais gerias. Por meio desse método, um problema de otimização restrita com n variáveis e m restrições de igualdade é transformado em um problema de otimização irrestrita com (n + m) variáveis.









































Resumo Teórico

1. Problemas envolvendo funções de duasvariáveis e uma restrição

Considerando o seguinte problema: max f(x,y)
s.a g(x,y) = 0

Usando as propriedades do vetor gradiente, vamos obter uma visualização geométrica do método de Lagrange, que nos permite determinar os candidatos a pontos de máximo e/ou mínimo condicionados de f. Para isso, esboçamos o gráfico de g(x,y) = 0 e diversas curvas de nível f(x,y) = k da funçãoobjetivo, observando os valores crescentes de k. O valor máximo de f(x,y) sobre a curva g(x,y) = 0 coincide com o maior valor de k tal que a curva f(x,y) = k intercepta a curva g(x,y) = o. Isso ocorre em um ponto P0. Nesse ponto, as duas curvas têm a mesma reta tangente t (Figura abaixo).


[pic]


Como grad f e grad g são perpendiculares à reta t, eles têm a mesma direção no ponto P0. Alémdisso, o mesmo argumento pode ser facilmente adaptado para problemas de minimização.

Aplicação

Um galpão retangular deve ser construído em um terreno com a forma de um triangulo, conforme a figura abaixo. Determinar a área máxima possível para o galpão.

[pic]

Solução: Na figura abaixo, representamos a situação a ser analisada em um sistema de coordenas cartesianas, traçandoconvenientemente. Observando que a figura abaixo, vemos que a área do galpão é dada por: A(x,y) = x * y e que o ponto P(x,y) deve estar sobre a reta x+ 2y = 20.

[pic]

Temos então, o seguinte problema: max xy
s.a x + 2y = 20.

Para resolver o problema pelo método dos multiplicadores de Lagrange, devemos escrever a restrição x + 2y = 20 na forma x + 2y – 20 = 0. A função lagrangeana é dadapor [pic]. Derivando L em relação às três variáveis x,y e [pic], temos [pic]. Igualando essas derivadas a zero, obtemos o sistema de equações


[pic]

Resolvendo esse sistema, encontramos x = 10, y = 5 e [pic] = 5. O multiplicador de Lagrange [pic] desempenha um papel auxiliar, não sendo de interesse na solução final do problema. As dimensões do galpão que fornecem um valor extremo para asua área são x = 10 e y = 5. Com essas dimensões, a área do galpão será A = 10*5 = 50m². Embora o método não possibilite verificar se esse valor é um valor máximo ou mínimo, por meio de uma simples inspeção geométrica da figura abaixo, vemos que de fato, as dimensões encontradas fornecem a área máxima do galpão.

[pic]












2. Problemas envolvendo funções de três variáveis e uma restriçãoNesse caso, podemos visualizar o método fazendo um esboço do gráfico de g(x,y,z) = 0 e de diversas superfícies de nível f(x,y,z) = k da função objetivo, observando os valores crescentes de k. Como podemos ver na figura abaixo, no ponto extremante P0, os vetores grad f e grad g são paralelos. Portanto, nesse ponto devemos ter


[pic]


O método dos multiplicadores de Lagrange paradeterminar os potenciais pontos extremantes de W = f(x,y,z) sobre g(x,y,z) = 0 consiste em definir a função lagrangeana


[pic]


E determinar os pontos (x,y,z) tais que


[pic]


ou, de forma equivalente


[pic]




Aplicação

Determinar o ponto do plano 2x + y + 3z = 6 mais próximos da origem. Solução: Neste caso queremos minimizar a distância [pic] dos pontos do...
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