Rugen Kutta como método de resolução de problema

Universidade Federal do Ceará
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Química

Métodos Matemáticos
Aplicados a Engenharia Química

Método de Runge-Kutta

Nome:
27 de Junho 2012
Índice

1. Introdução

2. Desenvolvimento

2.1. Demonstração dos métodos
2.1.1 Método do Fator Integrante
2.1.2 Método de Runge-Kutta
2.2. Resolução do Problema
2.2.1 Método Analítico
2.2.2 Método Runge-Kutta: h = 0,1
2.2.3 Método Runge-Kutta: h = 0,01

2.3 Gráficos

3 Análise dos resultados

4 Considerações Finais

5 Bibliografia

1. Introdução

Para resolução de equações diferenciais podem ser usados tanto métodos analíticos, que fornecem uma solução de forma fechada, quanto os métodos numéricos, ou computacionais, que conduzem a resultados aproximados através da experimentação.

Para cada classificação de equações diferenciais, existe um método analítico e um método numérico que seja mais eficiente.

Neste trabalho demonstraremos o método numérico de Runge-Kutta a partir de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. O método considerado um aprimoramento do método de Euler, por conduzir a uma melhor estimativa da derivada da função, possuindo um erro da ordem de O(hn+1).

2.1. Demonstração dos Métodos

2.1.1 – Método Analítico do Fator Integrante

Considere uma equação ordinária não homogênea do tipo:
+ p(x) . y = q(x)
A solução analítica para esta equação é resolvida através do método abaixo

I) Multiplicar ambos os lados da igualdade da por um fator integrante µ(x). dy + [ p(x) y - q(x) ] dx =0 µ(x) dy + µ(x) [ p(x) y - q(x) ] dx =0

Considerando que M = dy e N = p(x) y - q(x), têm-se : µ(x) M + µ(x) N = 0

II) Pelo teorema das funções exatas, sabe-se que: = = (p(x) y - q(x)) = P(x) + 0 (Equação 1.1)

III) Integrando ambos os lados da equação temos: = = ln = (Equação 1.3)

IV) Substituindo a equação 1.2 na equação 1.1, têm-se:

y = [ y p(x) – q(x)]