RESUMO1 PROBLEMASDEOTIMIZAO

UNIVERSIDADE SÃO JUDAS TADEU
CURSO:
ENGENHARIA
DISCIPLINA: CÁLCULO I

TURMA:
Prof. Ms Rogério Lobo

DATA:
Nº DE ORDEM:

PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
RESUMO 1
Ponto de inflexão: f´´(x) = 0 e f´´´(x)  0

MÁXIMOS E MÍNIMOS

Dizemos que uma função admite pontos críticos
Observe a função y = f(x), contínua e derivável,

se tiver pontos de máximo, mínimo ou inflexão.

cujo gráfico está representado abaixo. A função no ponto

A

passa

de

crescente

Exemplos

para

decrescente e no ponto B de decrescente para crescente. O ponto A é chamado de ponto de máximo

1) estudar a função f ( x)  x 3  3x.
Solução:

relativo ou máximo local de f(x).
O ponto B é chamado de ponto de mínimo relativo ou mínimo local de f(x).

Pontos extremos: f ´(x)  3 x 2  3  3 x 2  3  0  x  1 f ´´(x)  6 x x  1  f ´´(1)  6  0(máxima)
MAX (1,2)
X  1  F´´(1)  6  0(mínimo)
MIN (1,2)

Os pontos A e B são os extremos da função y =

Ponto de inflexão:

f ´´(x)  6 x  0  x  0
INF (0,0)

f(x).
Nos extremos, a derivada primeira é nula:

Para saber se o ponto é máximo ou mínino, calcule-se a 2ª derivada:

Ponto de máximo: f´(x)=0 e f´´(x)<0
Ponto de mínimo: f´(x)=0 e f´´(x)>0
2) De todos os retângulos de perímetros igual a
Na figura acima, o ponto C indica um ponto de

2p, ache o que tem área máxima.

inflexão. A curva no ponto de inflexão muda a concavidade. Solução:
1

S=xh
2x + 2h = 2p  h = p – x
2-) Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de cartolina de 40 cm

Substituindo-se em S = x h:

de largura e 52 cm de comprimento, retirandose um quadrado de cada canto da cartolina e

S = x(p – x) = px - x 2
S`= p – 2x = 0  x =

dobrando-se

p e S`` = -2
2

perpendicularmente

os

lados

resultantes. Determine o tamanho do lado do quadrado que permite construir uma caixa de

p p A altura h = p - =
2
2

volume máximo. (Despreze a espessura da cartolina.) p2
A área S =
4

Exercícios de Aula

1-) De uma folha retangular de metal de 30 cm de base e 15 cm de altura